La pregunta es simplificar $( \sqrt 5 + \sqrt6 + \sqrt7)(− \sqrt5 + \sqrt6 + \sqrt7)(\sqrt5 − \sqrt6 + \sqrt7)(\sqrt5 + \sqrt6 − \sqrt7)$ sin usar una calculadora .
Mi amigo me ha dado este desafío . Lo resuelto por la expansión de $$(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c) = -a^4+2a^2b^2+2a^2c^2-b^4+2b^2c^2-c^4$$ and then substituting $a,b,c=\sqrt 5 , \sqrt6 , \sqrt7$ respectively to get the answer $104$ .
Pero supongo que hay una forma más elegante y fácil para resolver este problema .
Puede alguien encontrar ?
Respuestas
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Eric Jablow
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Considerar la fórmula de Herón: el área de un triángulo con lados de $a, b, \text{and } c$ es
$$ \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} $$
donde $s$ es el semi-perímetro $\frac12 (a + b + c)$.
Deje $a, b, \text{and } c$$\sqrt{5}, \sqrt{6}, \text{and } \sqrt{7}$. Entonces el área es la raíz cuadrada de la expresión dividido por $4$. Así que, ¿cuál es el área de este triángulo? Usar la ley de los cosenos para hallar el coseno del ángulo de $C$ opuesto $c$:
$$ \begin{align} 7 &= 5 + 6 - 2 \sqrt{5}\sqrt{6}\cos{C}\\ 2\sqrt{30}\cos{C} &= 4\\ \cos{C} &= \frac{2}{\sqrt{30}} \end{align} $$
Pero el área del triángulo es $\frac12 ab\sin{C}$.
$$ \frac12 ab\sin{C} = \frac12 \sqrt{30} \frac{\sqrt{26}}{\sqrt{30}} = \frac12\sqrt{26}. $$
Su expresión es, por tanto, el cuadrado de $2\sqrt{26}$,$104$.
Per Hornshøj-Schierbeck
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El uso de $$(a+b)(a-b)=a^2-b^2.$$
Con $a=\sqrt6+\sqrt7$, $b=\sqrt5$ usted puede ver que el producto de los dos primeros números es $(\sqrt6+\sqrt7)^2-5=8+2\sqrt{42}$. Con $a=\sqrt5$, $b=\sqrt7-\sqrt6$ se puede conseguir que la el producto de los dos últimos es $5-(\sqrt7-\sqrt6)^2=-8+2\sqrt{42}$. Una última aplicación de esta regla indica que la respuesta es $$ (2\sqrt{42})^2-8^2=168-64=104. $$
rlpowell
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He aquí una buena manera para conseguir la expansión de la OP:
La expresión $$P(a,b,c)=(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)$$ claramente es un polinomio homogéneo de grado $4$, simétrica en sus tres variables. Es claro también que el coeficiente de $a^4$ (por lo tanto también se $b^4$$c^4$)$-1$. Por otra parte, $$P(-a,b,c)=P(a,-b,c)=P(a,b,-c)=P(a,b,c)$$ which implies $P$ has no terms with any variable taken to an odd degree. Therefore $P$ debe ser de la forma
$$P(a,b,c)=r(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)-(a^4+b^4+c^4)$$
para algunos coeficiente de $r$. Es fácil determinar $r$ dejando $a=b=c=1$, para lo cual hemos
$$3=3\cdot1\cdot1\cdot1=P(1,1,1)=r(1+1+1)-(1+1+1)=3r-3$$
por lo $r=2$. El resto de la respuesta se desprende de lo que el OP lo hizo:
$$P(\sqrt5,\sqrt6,\sqrt7)=2(5\cdot6+6\cdot7+7\cdot5)-(5^2+6^2+7^2)=104$$
Añadido 8/12/13: Eric Jablow la invocación de la fórmula de Heron inspira un enfoque más:
Considere el triángulo formado por el origen y dos vectores $x$$y$, con $|x|=a$, $|y|=b$, y $|x-y|=c$. Hay dos fórmulas para el área del triángulo: la fórmula de la Garza
$$\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$
donde $s=(a+b+c)/2$, y los de punto-fórmula de producto
$${1\over2}\sqrt{|x|^2|y|^2-(x\cdot y)^2}$$
Poniendo a estos en conjunto, se han
$$(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)=4((a^2b^2-(x\cdot y)^2)$$
Lo bueno es que esto tiene para los vectores $x$ $y$ en cualquier dimensión. Así que ahora vamos a $x=(2,1,0,0)$$y=(0,2,1,1)$, por lo que el $x-y=(2,-1,-1,-1)$. Tenemos $a=\sqrt5$, $b=\sqrt6$, $c=\sqrt7$, y $x\cdot y=2$, y por lo tanto el OP del producto de las raíces cuadradas se simplifica a
$$4(5\cdot6-2^2) = 104$$
Si quieres saber por qué fuimos a la cuarta dimensión de los vectores $x$$y$, es debido a la $7$, como todos los enteros positivos, puede ser escrito como la suma de cuatro cuadrados, pero no como la suma de tres. Otra posibilidad, que deja en claro que uno puede manejar arbitraria $a$, $b$, y $c$ (siempre y cuando el triángulo de la desigualdad se satisface, al menos) es dejar que $x=(1,1,1,1,1,0,0,0,0)$$y=(0,0,0,1,1,1,1,1,1)$, por lo que el $x-y=(1,1,1,0,0,-1,-1,-1,-1)$. (Edit: en Realidad, lo que acabo de decir, sólo funciona cuando el triángulo desigualdad se cumple y $a+b+c$ es incluso.)
Como $$(a+b+c)(-a+b+c)=\{(b+c)+a\}\{(b+c)-a\}=(b+c)^2-a^2,$$
$$(\sqrt5 +\sqrt6 +\sqrt7)(−\sqrt5+\sqrt6+\sqrt7)$$ $$=(\sqrt6+\sqrt7)^2-(\sqrt5)^2=6+7+2\sqrt7\cdot\sqrt6-5=8+2\sqrt{42}=2\sqrt{42}+8$$
De nuevo como $$(a-b+c)(a+b-c)=\{a+(b-c)\}\{a-(b-c)\}=a^2-(b-c)^2,$$ $$(\sqrt5 − \sqrt6 + \sqrt7)(\sqrt5 + \sqrt6 − \sqrt7)=\{\sqrt5 − (\sqrt6-\sqrt7)\}\{\sqrt5 + (\sqrt6-\sqrt7)\}$$ $$=(\sqrt5)^2-(\sqrt6 − \sqrt7)^2=5-(6+7-\sqrt7\cdot\sqrt6)=2\sqrt{42}-8$$
Así, el producto $$=(2\sqrt{42}-8)(2\sqrt{42}+8)=(2\sqrt{42})^2-8^2=4\cdot42-64=104$$
afwcxx
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