La pregunta es simplificar sin usar una calculadora .
Mi amigo me ha dado este desafío . Lo resuelto por la expansión de and then substituting respectively to get the answer .
Pero supongo que hay una forma más elegante y fácil para resolver este problema .
Puede alguien encontrar ?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?Considerar la fórmula de Herón: el área de un triángulo con lados de es
donde es el semi-perímetro .
Deje . Entonces el área es la raíz cuadrada de la expresión dividido por . Así que, ¿cuál es el área de este triángulo? Usar la ley de los cosenos para hallar el coseno del ángulo de opuesto :
Pero el área del triángulo es .
Su expresión es, por tanto, el cuadrado de ,.
He aquí una buena manera para conseguir la expansión de la OP:
La expresión claramente es un polinomio homogéneo de grado , simétrica en sus tres variables. Es claro también que el coeficiente de (por lo tanto también se ). Por otra parte, which implies has no terms with any variable taken to an odd degree. Therefore debe ser de la forma
para algunos coeficiente de . Es fácil determinar dejando , para lo cual hemos
por lo . El resto de la respuesta se desprende de lo que el OP lo hizo:
Añadido 8/12/13: Eric Jablow la invocación de la fórmula de Heron inspira un enfoque más:
Considere el triángulo formado por el origen y dos vectores , con , , y . Hay dos fórmulas para el área del triángulo: la fórmula de la Garza
donde , y los de punto-fórmula de producto
Poniendo a estos en conjunto, se han
Lo bueno es que esto tiene para los vectores en cualquier dimensión. Así que ahora vamos a , por lo que el . Tenemos , , , y , y por lo tanto el OP del producto de las raíces cuadradas se simplifica a
Si quieres saber por qué fuimos a la cuarta dimensión de los vectores , es debido a la , como todos los enteros positivos, puede ser escrito como la suma de cuatro cuadrados, pero no como la suma de tres. Otra posibilidad, que deja en claro que uno puede manejar arbitraria , , y (siempre y cuando el triángulo de la desigualdad se satisface, al menos) es dejar que , por lo que el . (Edit: en Realidad, lo que acabo de decir, sólo funciona cuando el triángulo desigualdad se cumple y es incluso.)