Factoriales en el triángulo de Pascals

Question

Hola,

Le hice esta pregunta a Keith Conrad y me sugirió que intentara publicarla aquí. Uno de mis alumnos observó que los únicos casos de factoriales en el interior del triángulo de Pascal son $\binom{4}{2}=3!$ y $\binom{10}{3}=\binom{16}{2}=5!$ . Revisé las primeras 500 filas, y está bien hasta ese punto.

Se trata de un caso especial del problema, aparentemente sin resolver, de encontrar soluciones no triviales a n!=a!b!c!... La particularidad aquí es que necesito (a+b)!=a!b!c!, y eso parece un caso lo suficientemente especial como para haber sido tratado por alguien. Por desgracia, las búsquedas bibliográficas han sido infructuosas, porque todos los artículos sobre el triángulo de Pascal contienen la palabra "factorial" en alguna parte.

Mi mejor idea (que no consigo hacer funcionar) es demostrar que las potencias de 7 en la ecuación (a+b)!=a!b!c! no pueden hacerse coincidir a menos que ninguno de los lados sea múltiplo de 7. Entonces la búsqueda exhaustiva puede demostrar que las anteriores son las únicas soluciones no triviales.

Muchas gracias por cualquier idea que alguien pueda aportar.

Answer 1

Esto es sólo un comienzo, pero quizá sugiera a otros cómo proceder. Si $p$ es un número primo, entonces no hay ningún número entero $1 \le n < p$ y enteros $m$ con $${p\choose{n}} = m!$$ Esto se debe a que el LHS es divisible por $p$ pero es inferior a $p!$ y el lado derecho no pueden ser ambos divisibles por $p$ y menos de $p!$

No estoy seguro de cómo generalizar esto, pero espero que ayude.

Answer 2

El último número del Journal of Number Theory (número de febrero de 2016) contiene un artículo de Nair y Shorey que ofrece una resolución condicional de este problema. Consideran el problema de encontrar soluciones a $$ n! = a_1! a_2! \cdots a_t!, $$ con $n>a_1 \ge a_2 \ge \ldots a_t>1$ y $t>1$ . Obviamente, podemos suponer que $a_1 \le (n-2)$ ya que si $a_1 =n-1$ sólo estamos viendo $n=a_2!\cdots a_t!$ .

Entonces el Teorema 4 del citado trabajo muestra que asumiendo la explícita de Baker $abc$ -conjetura, las únicas soluciones a esta ecuación son $$ 7!3!3!2!=9!; 7!6!=10!; 14!5!2!=16!. $$

En este caso, el $abc$ La conjetura de Baker afirma que si $a$ , $b$ y $c$ son enteros positivos coprimos con $a+b=c$ y $\omega$ denota el número de factores primos distintos de $abc$ entonces $$ c< \frac{6}{5} N \frac{(\log N)^{\omega}}{\omega!}, $$ con $$ N = \prod_{p|abc} p $$ que denota el radical de $abc$ .

Answer 3

He aquí una propuesta a lo largo de las líneas de lo que Ben Weiss dijo: hágase $s(n)$, la "suavidad" de $n$, siendo el mayor factor principal de $n$. A continuación, como una condición necesaria, $$\left[\binom{n}{k}\right]! \le \binom{n}{k}.$$ De lo contrario, se puede decir que el coeficiente binomial no es lo suficientemente suave como para su tamaño para ser un factorial. Este criterio elimina de grandes extensiones de Pascal el triángulo de la consideración. Un estúpido un poco informado (ver más abajo) ejecutar con Salvia hasta $n = 10^7$ encontrado la solución $n=10$ y $50$ por $k=3$ a la desigualdad anterior, y los siguientes valores de $n$ para $k=2$: $$4\quad 9\quad 16\quad 25\quad 81\quad 126\quad 225\quad 2401\quad 4375\quad 9801\quad 123201$$ No se encontró ningún soluciones con $\min(k,n-k) \ge 4$.

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Aquí se parte de la idea de que puede ser rigurosa. Como ya he dicho, es una generalización de Ben Weiss comentario. Deje que $p$ ser el más grande de la prime no más de $n$. Entonces $$p! \ge \lfloor n/2 \rfloor ! > \binom{n}{k},$$ donde la segunda desigualdad se cumple para $n \ge 14$; la combinación de la desigualdad también pasa a sostener por $n \ge 5$. Por lo tanto $\binom{n}{k}$ no es lo suficientemente suave como para su tamaño para ser un factorial si $n-p < k \le n/a 2$. Por lo tanto, cualquier binomio que es un factorial debe estar cerca de los bordes del triángulo de Pascal, de acuerdo a las separaciones máximas entre los números primos. Estos sobrevivientes coeficientes binomiales son mucho más pequeños que los que están en el medio, y la idea luego se puede repetir con otros grandes factores primos de los números de cerca de $n$.

Por otra parte, para la pregunta original de un coeficiente binomial igual a un factorial, el binomio valores para las pequeñas $k$ crecen mucho más lentamente que factoriales hacer, por lo que también consigue un severo límite superior en la densidad de tales coincidencias en una parte finita del triángulo de Pascal. Esto significa que hay sólo un puñado de entradas a la izquierda para comprobar, por ejemplo, con un equipo de búsqueda.

Answer 4

Para complementar la observación de Greg Kuperberg, supongamos que n es un número dado y p un primo, de modo que log(factorial p) > n, donde log es la base 2. ¡Entonces p! > (n elija k) para 0 <= k <= n, y entonces p! no puede dividir a (n elige k). Por lo tanto, si (n elija k) es un producto de factoriales, entonces ninguno de n, n-1, ..., n-k+1 debe ser primo, ni (para n suficientemente grande) dos veces primo, ni tres veces primo, y así sucesivamente. Una búsqueda computacional eficiente para comprobar la condición relajada de Greg [(suave( n elija k) )factorial <= ( n elija k )] podría comprobar n, n-1, etc. para divisores primos p tales que p log(p/e) > n y parar cuando (n-k) con un divisor "grande". Alternativamente, definir un grado apropiado de suave y buscar intervalos de enteros suaves tales. La entrada de Greg sugiere que no hay intervalos con 4 números pequeños apropiadamente suaves.

Gerhard "Ask Me About System Design" Paseman, 2010.05.21

Answer 5

Supongamos que $(a+b)!=a!b!c!$ con $a\le b$ . Según los experimentos ya mencionados, podemos suponer que $a+b$ es muy grande. Debido a $c!\le 2^{a+b}$ junto con la fórmula de Stirling, vemos que $c< < a+b$ . Por lo tanto, todo primo $p$ dividiendo el binomio $C_{a+b}^a$ es pequeño, comparado con $a+b$ y, en particular, es menor que $b$ . Esto implica que no hay ninguna potencia prima $p^\ell$ entre $b+1$ y $a+b$ . Debido al teorema de los números primos, $a$ debe ser un $O(\log b)$ .