Hacer funciones continuas preservar débil*-convergencia?

Question

Estoy tratando de entender la prueba de un teorema en el cálculo de variaciones (dibujo: el funcional $\int\limits_\Omega f(Du_j(x))~dx$ es débil*-secuencialmente semicontinua si y sólo si $f$ es quasiconvex), pero me he atascado en un (probablemente) el simple argumento de que no es explicado allí.

Deje $f:\mathbb{R}^{m} \rightarrow \mathbb{R}$ ser continua y deje $u_j \rightarrow u \text{ weak}^*$ en $L^\infty(\Omega,\mathbb{R}^m)$, $\Omega$ un almacén de Lipschitz de dominio. Hace lo siguiente mantenga: $f(u_j) \rightarrow f(u)$ $\text{weak}^*$ $L^\infty(\Omega)$?

Aquí me identfied $L^{\infty}(\Omega,\mathbb{R}^m)$ con el doble de $L^{1}(\Omega,\mathbb{R}^m)$.

Edit: he añadido "$\text{weak}^*$" en la última línea.

Answer 1

Creo que este es un contraejemplo. Se articula en mi comprensión de $f(u_k)$.

Supongamos que $\Omega=[0,1]$, $m=2$. Deje $f(x) = \sqrt{x_1^2+x_2^2}$.

Deje $v_k(t) = (\cos 2 \pi k t, \sin 2 \pi k t)$, e $u_k(x) = \int_{[0,1]} v_k(t)^T x(t) dt$,$x \in L^1([0,1], \mathbb{R}^2)$.

Estoy suponiendo que $f(u_k)$ se define como $f(u_k)(\eta) = \int_{[0,1]} f(v_k(t)) \eta(t) dt$,$\eta \in L^1([0,1], \mathbb{R})$. A continuación,$f(u_k)(\eta) = \int_{[0,1]} \eta(t) dt$, para todos los $k$, e $f(0) = 0$.

Luego tenemos a $u_k(x) \to 0$ todos los $x$, pero $f(u_k)(\eta) = \int_{[0,1]} \eta(t) \neq f(0)(\eta) = 0$.