Encontrar un conjunto de oraciones $\Sigma$ de manera tal que el conjunto de todos los modelos de $\Sigma$ es countably infinito.

Question

Yo estoy empezando Modelo de Teoría (Chang & Keisler) y estoy teniendo problemas a la derecha del palo con el ejercicio 1.2.9 (ii):

Dar un ejemplo de un conjunto $\Sigma$ frases tales que el conjunto de todos los modelos de $\Sigma$ es countably infinito.

Voy a asumir que las frases se construyen a partir del conjunto $\mathbb S$ de simples declaraciones, y que $\mathbb S$ es contable. Estamos trabajando con los modelos de la lógica proposicional. (Aparte: cualquier persona que reconozca el carácter que el libro utiliza para $\mathbb S$? No puedo identificar.)

Mi problema es que he mathed a mí mismo en una esquina. Esto es lo que he conseguido hasta ahora. (Me referiré a el conjunto de todos los modelos de $\Sigma$$\mathbb M$.)

1. Si $\Sigma$ no es válido, a continuación,$\mathbb M = \emptyset$, que no es countably infinito.

2. Si $\Sigma = \emptyset$, entonces cada conjunto de símbolos en $\mathbb S$ constituye un modelo para $\Sigma$, lo $\mathbb M = \mathbb P(\mathbb S)$. La cardinalidad de la powerset de un countably conjunto infinito es $\mathfrak{c}$, lo $\mathbb M$ no es countably infinito.

3. Si $\Sigma$ es finito, entonces se puede construir una sola frase $\phi$ de manera tal que cada vez que $A \models \phi$, $A \models \Sigma$. $\phi$ es válido, por lo que es finitely válido, por lo que es válido por un modelo que contiene un número finito de elementos en $\mathbb S$. Por lo tanto, $\mathbb M$ incluye algunos finito modelo de un mínimo de $M$$\phi$, e $\mathbb M$ también incluye $M \cup R$ todos los $R \subset \mathbb P(\mathbb S - M)$ (debido a $R$ no tiene ningún impacto en la si $M \cup R \models \phi$). Debido a $M$ es finito, $\mathbb S - M$ es countably infinito, por lo que la cardinalidad de a$\mathbb P(\mathbb S - M)$$\mathfrak{c}$, lo $\mathbb M$ no es countably infinito.

4. Si $\Sigma$ $\{\phi_0, \phi_1, ...\}$ todos los $\phi_i \in \mathbb S$ (cada símbolo sencillo en $\mathbb S$ es una frase en $\Sigma$), $\mathbb M = \{\mathbb S\}$ $\mathbb M$ no es countably infinito.

5. Si $\Sigma$ contiene sentencias de todos los símbolos en $\mathbb S$ ahorrar para un conjunto finito $F$ de ellos, entonces debemos utilizar todos los símbolos en $\mathbb S$ en cualquier modelo de $\Sigma$, salvo un número finito de ellos que podemos elegir libremente. En otras palabras, $\mathbb M = \{\mathbb S - G : G \in \mathbb P(F)\}$. Debido a $\mathbb P(F)$ es finito, $\mathbb M$ es finito.

6. Si $\Sigma$ contiene sentencias de todos los símbolos en $\mathbb S$ ahorrar para una contables conjunto de $S$ de ellos, entonces para cualquier modelo de $M$ $\Sigma$ podemos lindan con un subconjunto $R$ $\mathbb P(S)$ sin violar $M \cup R \models \Sigma$. La cardinalidad de a$\mathbb P(S)$$\mathfrak c$, lo $\mathbb M$ no es countably infinito.

Así que si $\mathbb M$ countably infinito, $\Sigma$ no tiene (como oraciones) cero los elementos de la $\mathbb S$, ni puede tener un subconjunto finito de $\mathbb S$ como oraciones, ni puede haber una countably infinito (salvo un conjunto finito) conjunto de elementos de $\mathbb S$ como oraciones, ni puede haber una countably infinito (a excepción de una countably conjunto infinito) conjunto de elementos de $\mathbb S$ como oraciones, ni puede haber todos los elementos de a $\mathbb S$ como oraciones.

Obviamente me he tomado un horriblemente equivocado en algún lugar. Soy bastante nuevo en el modelo de la teoría, se puede señalar el error en mi lógica? Tengo la sospecha de que podría estar relacionado con el hecho de que estoy considerando sólo los conjuntos de oraciones simples, pero no estoy seguro de cómo.

Answer 1

Así, de acuerdo a sus observaciones $\Sigma$ va a tener que contiene el compuesto de frases (compuesto de las conectivas otros de $\neg$).

Quizás conceptualmente la forma más fácil de asegurarse de que el conjunto de modelos de $\Sigma$ es countably infinito es para asegurarse de que $\Sigma$ está satisfecho iff en la mayoría de los una de las $s_0, s_1 , \ldots$ es cierto. (A continuación, los modelos de $\Sigma$ son sólo el conjunto vacío, y todos singleton conjuntos, que es claramente countably infinito.)

Deje $\Sigma$ ser el conjunto de todas las sentencias de la forma $\neg s_i \vee \neg s_j$ donde $i < j$ son números naturales.

• Claramente $\varnothing \models \Sigma$, ya que el $\neg s_i$ que es verdad en $\varnothing$ todos los $i$. Si $M = \{ s_k \}$, entonces para cualquier frase,$\neg s_i \vee \neg s_j$$\Sigma$, $i \neq k$ (donde $M \models \neg s_i$) o $j \neq k$ (donde $M \models \neg s_j$), por lo que en cualquiera de los casos tenemos $M \models \neg s_i \vee \neg s_j$. Por lo tanto $M \models \Sigma$.
• Si $M \subseteq \mathbb{S}$ tiene un tamaño de al menos dos, pick $i < j$ tal que $s_i, s_j \in M$. Entonces claramente $M \not\models \neg s_i \vee \neg s_j$, y por lo $M$ no es un modelo de $\Sigma$.

Answer 2

Deje que los símbolos proposicionales ser $P_i$, $i=0,1,2,\dots$, y dejar que los axiomas ser $P_i\longrightarrow P_{i+1}$.