Hay vector de paquetes que no son localmente trivial?

Question

Un $\Bbb K$ vector paquete de más de un espacio de $B$ es un espacio de $E$ y un mapa continuo $p:E\to B$, de modo que $p^{-1}(b)$ es topológico, $\Bbb K$ espacio vectorial para cualquier $b\in B$.

Uno siempre incluye el local de la trivialidad en la definición, que es una de las demandas que por cualquier $b\in B$ no es un barrio de $U$ $B$ junto con homeomorphism $f:U\times \Bbb R^n \to p^{-1}(U)$, de modo que $p\circ f$ es la misma que la proyección en $U$.

Si no se incluyen en la definición, se puede construir ejemplos sencillos de vector de paquetes que no son localmente trivial?

Answer 1

$\newcommand{\Reals}{\mathbf{R}}$A resumir (y amplificar ligeramente) los comentarios: Definir un vector parte (pensando en una colección desorganizada, con o sin local, la trivialidad) a través de un espacio de $B$ a ser un espacio de $E$ junto con un mapa continuo $p:E \to B$ tal que $p^{-1}(b)$ es un espacio vectorial (sobre algunas de campo fijo) para cada una de las $b$$B$.

Un vector parte está lejos de ser un vector paquete, más que una colección de espacios vectoriales parametrizadas por puntos de $B$. Revisión de un espacio vectorial topológico $V$ de dimensión al menos $2$ (pero no necesariamente finita).

Un vector de las partes puede no ser un vector paquete compuesto por múltiples razones, incluyendo:

1. El espacio total $E$ "más fina que la topología de lo que debería".

   Deje $E = B \times V$ ser el producto Cartesiano con la topología discreta en $B$, e $p:E \to B$ proyección para el primer factor. Si $O$ es un conjunto abierto en $V$, entonces para cada a$b$$B$, la $\{b\} \times O$ está abierto en $E$; si la base del espacio de $B$ no es discreto, $p:E \to B$ no es localmente trivial. (En general, $E$ no tiene ningún continua, no constante de la sección local.)

2. Las fibras "variar de forma discontinua".

   Deje $k$ ser un número entero, $0 < k < \dim V$, vamos a $\sigma:B \to G_{k}(V)$ ser arbitraria asignación de $B$ a la Grassmannian de $k$-planos en $V$ (es decir, "una selección de $k$-dimensiones subespacio de $V$ por cada $b$$B$"), vamos a $E$ ser la colección $$ E = \bigcup_{b \B} \{b\} \times \sigma(b) \subconjunto de B \times V $$ equipado con la topología de subespacio, y deje $p:E \to B$ (la restricción) proyección para el primer factor.

   Si $\sigma$ es discontinuo (por ejemplo, mapa de $\Reals$ en el espacio de las líneas a través de la procedencia en $\Reals^{2}$ tomando $\sigma(b)$ $x$- eje si $b$ es racional, el $y$-eje si $b$ es irracional, como en los comentarios), entonces la topología de subespacio de $E$ se diferencia del "producto local" topología de un vector paquete. (En general, $E$ no tiene ningún continua, no trivial de la sección local.)

3. Las fibras ", varían continuamente", pero "la dimensión de salta".

   Si $E$ $E'$ (suave, digamos) vector de paquetes de más de $B$, y si $f:E \to E'$ es un (suave) de paquete de morfismos, el "paquete de granos" (cuya fibra en $b$ es el núcleo de $f_{b}:E_{b} \to E'_{b}$) y el "paquete de imágenes" son vectores partes, pero en general no es vector de paquetes.

   Pensemos, por ejemplo, de la helicoidal $E \subset \Reals \times \Reals^{2}$ parametrizadas por $$ (b, v) \mapsto \bigl(b, v\cos b, v\pecado b)\bigr), $$ el producto $E' = \Reals \times (\{0\} \times \Reals)$, un.k.un., el $(x, z)$-plano, y el bulto de morfismos $f:E \to E'$ dado por la proyección a la $(x, z)$-plano, es decir, $$ \bigl(b, v\cos b, v\pecado b)\bigr) \mapsto \bigl(b, (0, v\pecado b)\bigr). $$ El "partido de los núcleos" es el paquete analógica de los rascacielos de la gavilla apoyado en múltiplos enteros de $\pi$, mientras que el "partido de las imágenes" resultados del colapso de estas fibras de $E'$ de los puntos.