Convergencia uniforme de $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x}{(1+x)^n}$

Question

$f_n(x)= \frac{x}{(1+x)^n}\quad f_n(0)=0$

pointwise convergencia: $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x}{(1+x)^n}=x \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(1+x)^n}$ y la serie es una serie geométrica convergente si $|x+1|>1$.

Así que hay pointwise convergente en $E=(-\infty-2)\cup[0,+\infty)$

La suma de la serie es $S(x)=1$ para $x\ne0$ e $S(0)=0$ así que si considero $[0,+\infty)$ no hay convergencia uniforme. Pero hay convergencia en un subconjunto de a$[0,+\infty)$?

Si yo considerara $A=[b,+\infty),b>0$ $sup_A|f_n(x)|=f_n({\frac{1}{n-1}})$ término general de una serie convergente, de modo de Weierstrass de la prueba de la serie uniforme converge en Un

Y en B=$(-\infty,-2)$: si considero sup$_B|S(x)-S_N(x)|>$sup$_B|\sum_{n=N+1}^{+\infty}f_n(x)|$ El extremo superior es importante en el valor de la función en cada punto así que me tome $x_n=-2-{\frac{1}{n}}$ y demostrar que no hay convergencia?

Answer 1

Si $S_N$ es la N-ésima suma parcial, a continuación, $S_N-1=\frac 1 {(1+x)^{N}}$ (por la fórmula de la suma de un número finito geométrica de la suma). Por lo tanto la serie converge uniformemente en un conjunto iff $|(1+x)|^{N} \to \infty$ uniformemente en $S$. Creo que se puede tomar desde aquí.