supongamos que tenemos tres rectas concurrentes $g,h,k$ en el plano Euclidiano, que se reúnen en un punto de $P\in g\cap h\cap k.$ por otra parte, vamos a $K$ ser algunas círculo con el centro $P$ y algunos radius $r>0$.
Me gustaría construir, con regla y compás, todos los triángulos con la circunferencia circunscrita $K$ que $g,h,k$ vuelven las mediatrices de los lados del triángulo.
Mis ideas hasta ahora: he demostrado que la composición de reflexiones $s_g\circ s_h\circ s_k$ es de nuevo una reflexión en una cierta línea a través de $P$ (donde $s_g$ denota la reflexión en la línea $g$ etc.). Si queremos permutar el orden de las tres reflexiones ($s_g,s_h, s_k$), encontramos de nuevo una reflexión, sino en una línea diferente a través de $P$.
El uso de esta observación, se me ocurrió la siguiente idea de una construcción. Supongamos, se reflejan algunos de punto de $A\in K\cap g$ , sucesivamente, a $k$ y, a continuación, en $h$. Hemos de obtener algún punto de $A'$ (Esto correspondería con el punto de $A'=s_h\circ s_k\circ s_g(A)$, es decir, Un' es el reflejo de $A$ en algunos de la línea de $d$ través $P$). Cuando se construye la bisectriz de $A A'$, se obtiene la línea de reflexión de $d$ de $s_h\circ s_k\circ s_g$. Deje $Q\in d\cap K$. Si consideramos el punto de $Q$ , sucesivamente, a $g,k,h$, obtenemos un triángulo, el cual cumple con todos los criterios.
Si hacemos lo mismo con todos los otros puntos, obtenemos en total dos triángulos que cumplen todos los criterios. Pero no sé cómo demostrar que no hay más triángulos. Por otra parte, parece que mi construcción es de alguna manera larga. Es posible construir los triángulos más elegante?
Estoy muy agradecido por su ayuda! Los mejores deseos
