¿Cómo evalúo$\int\limits_{0}^{+\infty} \frac{e^{-\frac{1}{x}}}{x^\alpha(1+x^\alpha)} \mathrm dx$, donde$\alpha \in \mathbb{R}$

Question

\begin{align*} \int_{0}^{+\infty} \frac{e^{-\frac{1}{x}}}{x^\alpha(1+x^\alpha)} \mathrm dx &= \int_{0}^{+\infty} e^{-\frac{1}{x}}\left(\frac{1+x^\alpha}{x^\alpha(1+x^\alpha)} - \frac{x^\alpha}{x^\alpha(1+x^\alpha)}\right)dx\\ &= \int_{0}^{+\infty} \frac{e^{-\frac{1}{x}}}{x^\alpha} \mathrm dx - \int_{0}^{+\infty} \frac{e^{-\frac{1}{x}}}{1+x^\alpha} \mathrm dx \end{align*}

Así que tengo:

PS

Pero no sé cómo evaluar:

PS

Gracias de antemano por sus respuestas.

Answer 1

Con la sustitución de $x\rightarrow \frac{1}{y}$ integral

$$\int_{0}^{\infty }\exp \left( -y\right) \frac{y^{\alpha -2}}{1+y^{\alpha }}dy$$

puede ser interpretado como una transformación de laplace

$$\mathcal{L}\left\{ \frac{y^{\alpha -2}}{1+y^{\alpha }}\right\} =\mathcal{L}% \left\{ y^{\alpha -2}G_{1,1}^{1,1}\left( y^{\alpha }\left\vert \begin{array}{c} 0 \\ 0% \end{array}% \right. \right) \right\} $$ para $s=1$. Aquí el integrando se expresa en forma de una Meijer $G$- la función. Con la ayuda de Mathai (2.29,p. 52) la solución puede ser expresada

$$\mathcal{L}\left[ y^{\alpha -2}G_{1,1}^{1,1}\left( y^{\alpha }\left\vert \begin{array}{c} 0 \\ 0% \end{array}% \right. \right) \right] \desbordado{s\rightarrow 1}{=}H_{3,2}^{1,3}\left( 1\left\vert \begin{array}{c} \left( 0,1\right) ,\left( 0,1\right) ,\left( 2-\alpha ,\alpha \right) \\ \left( 0,1\right) ,\left( 0,1\right) \end{array}% \right. \right) $$ por un $H$ - Fox función.