Caracteres de$\mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}_2$

Question

A partir de la tabla de Cayley:

\begin{align*} \begin{array}{c | c c c c } & (0,0) & (0,1) & (1,0) & (1,1)\\ \hline (0,0) & (0,0) & (0,1) & (1,0) & (1,1)\\ (0,1) & (0,1) & (0,0) & (1,1) & (1,0)\\ (1,0) & (1,0) & (1,1) & (0,0) & (0,1)\\ (1,1) & (1,1) & (1,0) & (0,1) & (0,0)\\ \end{array} \end{align*}

¿Cómo puedo construir los personajes de este grupo, $G =\mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}_2$?

EDIT: Ya $\mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}_2$ es abelian, todos los personajes son unidimensionales, por lo que en los valores de $\pm 1$. Así que tenemos la misma tabla de caracteres como el de Klein-4 grupo:

\begin{align*} \begin{array}{c | c c c c } & (0,0) & (0,1) & (1,0) & (1,1)\\ \hline \chi_{(0,0)} & 1 & 1 & 1 & 1\\ \chi_{(0,1)} & 1 & 1 & -1 & -1\\ \chi_{(1,0)} & 1 & -1 & 1 & -1\\ \chi_{(1,1)} & 1 & -1 & -1 & 1\\ \end{array} \end{align*}

Si esto es correcto, puedo ponerlo como una solución en lugar de una edición sin embargo, siéntase libre de crítica de mi intento.

Answer 1

Como $\mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}_2$ es abeliano, todos los caracteres son unidimensionales, por lo que toman valores $\pm 1$ . Así que tenemos la misma tabla de caracteres que el grupo Klein-4:

\begin{align*} \begin{array}{c | c c c c } & (0,0) & (0,1) & (1,0) & (1,1)\\ \hline \chi_{(0,0)} & 1 & 1 & 1 & 1\\ \chi_{(0,1)} & 1 & 1 & -1 & -1\\ \chi_{(1,0)} & 1 & -1 & 1 & -1\\ \chi_{(1,1)} & 1 & -1 & -1 & 1\\ \end {array} \ end {align *}