En primer lugar, se puede pensar en esta integral utilizando casi la misma imagen. La única diferencia es que en lugar de sumar sólo la zonas de los rectángulos, primero se multiplica cada área por $g(x_{i+1})-g(x_i)$ y luego añadir.
La idea es que ya no consideramos que la línea real tenga el mismo "peso" en todas partes; algunas partes son ahora "más importantes" que otras. Cuando hacíamos la integración habitual, asignábamos el trozo de la recta entre $x_i$ y $x_{i+1}$ el peso $x_{i+1}-x_i$ exactamente proporcional a su longitud. Ahora, en cambio, a esta misma pieza se le da un peso $g(x_{i+1})-g(x_i)$ .
En particular, si elegimos g para que $g(x)=x$ para todos x , recuperaríamos la integral regular. Si g fueran constantes, todas las integrales se convertirían en cero; ninguna parte de la recta real importaría en absoluto.
Ejemplo final divertido si g(x)=0 para $x \leq 0$ y g(x)=1 para $x > 0$ Entonces ninguna parte de la línea importa excepto el origen . Para simplificar, supongamos que algunos $x_i=0$ . Entonces, nuestra suma Riemann-Stjeltes será: $$\sum_{i=-n}^n f(x_i)\cdot \underbrace{(g(x_{i+1})-g(x_i))}_{\text{not 0 only if }x_i=0} = f(0)$$ no importa cuál sea nuestro paso. Así, la integral de cualquier función f será f(0) . (La función deberá ser continua para que las integrales estén bien definidas, como siempre)
Pero, creo que lo que realmente te falta es el concepto de medir Al menos de forma intuitiva. Cuesta un poco de trabajo aprenderlo, pero facilita mucho la comprensión de todo tipo de integración. Mi fuente favorita para esto es el libro barato de Kolmogorov-Fomin (tendrías que mirar el último par de capítulos, y hacer referencia a los primeros capítulos episódicamente), pero ciertamente requeriría algo de tiempo y podría ser más de lo que necesitas. Lo ideal sería que hicieras un curso de análisis de posgrado (o similar).
