Por favor, demuestre que$n! > (n/3)^n$ es verdadero, sin usar inducción matemática

Question

Por favor, compruebe que $n! > \left(\frac{n}{3}\right)^n$ es verdadero, sin usar inducción matemática. Lo he demostrado mediante la inducción matemática, pero nuestro profesor nos pidió que lo deriváramos utilizando los límites $n$ pre-cálculo. Lo intenté, pero estoy atascado.

Answer 1

Bueno , ahora ya lo tengo. $$\frac {n!}{(n/3)^n} = 3^n \frac {n(n-1)(n-2)....}{n.n.n....} = 3 \left( 3- \frac {3}{n} \right) \left( 3- \frac {6}{n} \right) \left( 3- \frac {9}{n} \right) ......$$ Si $n$ ser un número natural, entonces el lado derecho es claramente mayor que 1 , por lo tanto el resultado.

Editar

El factor general es, $$\left( 3- \frac {3k}{n} \right)$$ Es obvio que si $n→0$ o $n→∞$, el producto tiende a infinito, es decir, la función de $\frac {n!}{(n/3)^n}$ crece monótonamente. En el caso de $n=1$, el resultado es trivial. De ahí el resultado.