¿Son todas las homogéneas radiales y positivas de grado $a\in(-N,0)$ distribuciones templadas de $\mathbb{R}^N$ proporcional a $x\mapsto |x|^a$ ?

Question

Dejemos que $\mathcal{S}$ sea el espacio de las funciones de prueba de Schwartz sobre $\mathbb{R}^N$ y que $\mathcal{S'}$ sea el espacio de las distribuciones templadas en $\mathbb{R}^N$ . Sea $\mathcal{O}$ sea el espacio de las transformaciones lineales unitarias de $\mathbb{R}^N$ . Decimos que $f\in\mathcal{S'}$ es radial si $$\forall O\in\mathcal{O}, \forall \varphi\in\mathcal{S}, f(\varphi\circ O) = f(\varphi).$$ Decimos que $f\in\mathcal{S'}$ es homogénea positiva de grado $\alpha\in\mathbb{R}$ si $$\forall\lambda>0, \forall \varphi\in\mathcal{S}, f\left(x\mapsto\frac{1}{\lambda^N} \varphi\left(\frac{x}{\lambda}\right)\right) = \lambda^{\alpha}f(\varphi).$$

Ahora, para $\alpha\in(-N,0)$ la función $$f_\alpha :x\mapsto |x|^\alpha$$ es localmente integrable de crecimiento moderado y representa, por emparejamiento integral, una homogénea positiva radial de grado $\alpha$ , elemento de $\mathcal{S}'$ .

Demostré que cada elemento en $\mathcal{S}'$ que es radial, homogénea positiva de grado $\alpha\in(-N,0)$ y representable por emparejamiento integral por una función localmente integrable de crecimiento moderado es proporcional a $f_\alpha$ . ¿Y si eliminamos la hipótesis de representabilidad? Es decir

Para $\alpha\in(-N,0)$ son todas las homogéneas radiales y positivas de grado $\alpha$ elementos en $\mathcal{S}'$ proporcional a $f_\alpha$ ?

Answer 1

La respuesta es sí. En general, para cualquier grado de homogeneidad $\alpha\in\mathbb{R}$ hay hasta múltiplos constantes un único elemento radial de $S'(\mathbb{R}^d)$ con ese grado de homogeneidad. Puedes encontrar una prueba detallada en la tesis de mi antiguo alumno https://libraetd.lib.virginia.edu/public_view/2r36tx772

En particular, te falta la proposición 2.5 (ecuación de Euler en el sentido de las distribuciones) y el Cor 2.2 de esa tesis (resolver la ecuación 1d $f'=0$ ).