Qué necesitamos el axioma de reemplazo (ZFC) para definir un producto de las estructuras (Álgebra Universal)?
Aquí $\mathrm{V}$ es la clase de todos los conjuntos.
Desde mi punto de vista aquí es cómo el producto de las estructuras está definido.
Definiciones:
Deje $ X $ ser un conjunto. Un arity-relación en $ X $ es una 2-tupla $ \left(\vphantom{n}\smash{\breve{n}},\asymp\right) $, donde $ \vphantom{n}\smash{\breve{n}}\in \mathbb{N} $ e $ {\asymp}\subseteq X^{\vphantom{n}\smash{\breve{n}}} $.
Deje $ X $ ser un conjunto. Un arity-operación en $ X $ es una 2-tupla $ \left(\vphantom{n}\smash{\dot{n}},\odot\right) $, donde $ \vphantom{n}\smash{\dot{n}}\in \mathbb{N} $ e $ {\odot}:X^{\vphantom{n}\smash{\dot{n}}}\to X $.
Una estructura es una 3-tupla $ \left(X,(\vphantom{n}\smash{\breve{n}},\asymp),(\vphantom{n}\smash{\dot{n}},\odot)\right) $, donde $ X $ es un conjunto y $ \{(\vphantom{n}\smash{\breve{n}}_{(\cdot)},\asymp_{(\cdot)})\} $ es una familia de arity-relaciones en $ X $ e $ \{(\vphantom{n}\smash{\dot{n}}_{(\cdot)},\odot_{(\cdot)})\} $ es una familia de arity-operaciones en $ X $.
Deje $ \{(X_\lambda,(m,\asymp^{\lambda}),(n,\odot^{\lambda}))\}_{\lambda\in\Lambda} $ ser una familia de estructuras. Revisión vacía $ I\subseteq \Lambda $. El producto de $ (X_i,(m,\asymp^i),(n,\odot^i)) $ para $ i\in I $, denotado $ \prod_{i\in I}(X_i,(m,\asymp^i),(n,\odot^i)) $, es el 3-tupla $ \left(Y,(m,\vphantom{\asymp}\smash{\bar{\asymp}}),(n,\vphantom{\odot}\smash{\bar{\odot}})\right) $, donde $ Y=\prod_{i\in I}X_i $ y
$ \vphantom{\asymp}\smash{\bar{\asymp}}_{(\cdot)}:\operatorname{dom}\left(m\right)\to \mathrm{V}:\alpha\mapsto \{y^{(\cdot)}\in Y^{m_\alpha}:\left(\forall i\in I\right)[\pi_i\circ y\in ({\asymp}^i)_\alpha]\} $ y
$ \vphantom{\odot}\smash{\bar{\odot}}_{(\cdot)}:\operatorname{dom}\left(n\right)\to\mathrm{V}:\alpha\mapsto \{(y^{(\cdot)},z)\in Y^{n_\alpha}\times Y:\left(\forall i\in I\right)[(\odot^i)_\alpha(\pi_i\circ y)=z_i]\} $.
Pregunta: ¿Puede el codominio de $\bar{\asymp}_{(\cdot)}$ o $\bar{\odot}_{(\cdot)}$, actualmente se escribe como $\mathrm{V}$, ser descrito sin el axioma de reemplazo?
Contexto: estoy interesado en el axioma de sustitución, porque de lo poco que se requiere en la vida cotidiana de las matemáticas (integrado en ZFC). Originalmente yo estaba buscando en Birkhoff del HSP Teorema de Álgebra Universal donde no hay relaciones más allá de la igualdad está en una estructura. Yo, simplemente, se amplió la definición para incluir relaciones, porque eso es lo que el Modelo de estudio de la Teoría. Me ofrecen este contexto porque he recibido algunos downvotes esta cuestión sin explicación.
EDIT1: quiero añadir que no estoy comprometido con la definición anterior. Si usted sabe de una definición diferente que puede trabajar en ZFC (menos de reemplazo), a continuación, voy a considerar la posibilidad de que una respuesta a la titular de la pregunta. Por ejemplo, la definición de par ordenado $(a,b):=\{\{a\},\{a,b\}\}$ comúnmente utilizado, tiene el beneficio de la separación de axioma y poder establecer axioma (entre otros) de ser suficiente para definir los productos de conjuntos. Si uno insiste en que para definir los pares ordenados en un desconocido de la moda de ese modo la $(a,b)=(x,y)\iff a=x\text{ and }b=y$, entonces el axioma de reemplazo sería necesario para hacer las mismas cosas. Ver, por ejemplo, $\text {dom}(R)$ $\text {ran}(R)$ existe para cualquier definición de orden par.
