El grupo de Lorentz real vs complejo y su teoría de representación

Question

Actualmente estoy tratando de investigar sobre el grupo de Lorentz y sus representaciones. He encontrado un par de publicaciones aquí en stack-exchange que me resultan útiles y confusas al mismo tiempo, así que estaría agradecido si alguien pudiera ayudarme a conectar los puntos. Haré referencia a las siguientes dos publicaciones: [1] y [2]. A partir de aquí, llamaré al grupo de Lorentz (propio) como $SO(1,3; \mathbb{R})$ (¡si la distinción entre grupo de Lorentz propio y no propio es relevante para la teoría de representación, por favor mencionarlo!).

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Estudiando [2] y [1] tarde o temprano hacemos la transición de $SO(1,3;\mathbb{R})$ a $SO(1,3;\mathbb{C})$. Me cuesta trabajo ver por qué... Durante una clase, mi profesor escribió lo siguiente: $$\mathfrak{so}(1,3;{\mathbb{C}})\cong \mathfrak{su}(2)_{\mathbb{C}} \oplus \mathfrak{su}(2)_{\mathbb{C}}\cong \mathfrak{sl}(2,\mathbb{C}) \oplus \mathfrak{sl}(2,\mathbb{C}),$$ lo cual coincide con lo escrito en [3] según entiendo. Pero nuevamente, surge la pregunta de por qué consideramos la complejificación del grupo de Lorentz. En [1] solo veo la afirmación de que $SO^+(1,3;\mathbb{R})$ es un subgrupo de $SO(1,3;\mathbb{C})$, pero ¿por qué es relevante para la teoría de representación de $SO(1,3;\mathbb{R})$ si $SO(1,3;\mathbb{C})$ no es simplemente conexo y la cubierta universal de $SO(1,3;\mathbb{R})$?

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Lamento si la pregunta está mal estructurada o confusa, pero simplemente no puedo formular una pregunta mejor estructurada.

Answer 1

Hay varias razones:

1. La versión complejificada es semisimple y, por lo tanto, puede descomponerse mediante la clasificación de grupos de Lie complejos semisimples. Esto es mucho más simple ya que el campo de los números complejos está algebraicamente cerrado.

2. De la versión complejificada siempre se puede volver a la versión real considerando en el álgebra de Lie de generadores solo los elementos Hermitianos (invariantes bajo conjugación). De esta forma, no se pierde nada.

3. La teoría de representación de un grupo de Lie y su complejificación están estrechamente relacionadas. En este caso, esto es de gran utilidad ya que la teoría de representación de los factores del grupo complejificado es particularmente simple y permite deducir la teoría de representación del grupo original.

4. En la física cuántica, se desea trabajar con generadores Hermitianos en lugar de antihermitianos como en matemáticas. Esto ya introduce coeficientes complejos.

5. A menudo es conveniente mirar combinaciones lineales de generadores con coeficientes complejos, que están naturalmente en el álgebra de Lie complejificada. Por ejemplo, en el álgebra de Heisenberg, se obtienen los operadores de creación y aniquilación de esta manera.

Answer 2

1. El paso de real a complejo es inofensivo, ya que las representaciones lineales complejas de la álgebra de Lie complejificada están en una correspondencia de 1 a 1 con las representaciones lineales reales de la forma real. (Dado que estamos trabajando con representaciones en un espacio vectorial $\mathbb{C}$.)
2. Como escribiste, el álgebra de Lorentz complejificada se puede escribir como una suma de $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})$, lo cual tiene la ventaja significativa de que la teoría de representaciones de $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})$ está completamente entendida. Ver, por ejemplo, este artículo.
3. Usando las representaciones de estas copias de $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})$, podemos etiquetar las representaciones del álgebra de Lorentz complejificada, y por ende aquellos del álgebra de Lorentz (ver 1.) por pares $(i,j) \in \mathbb{N}/2 \times \mathbb{N}/2$, lo cual ayuda al hablar de partículas 'que viven en ciertas representaciones'. Más información al respecto se puede encontrar en Knapp - Representation Theory of Semisimple Groups_an overview based on examples.
4. Habiendo clasificado todas las representaciones del álgebra de Lie, obtienes aquellas del grupo de Lie, pero debes tener cuidado con las llamadas 'representaciones proyectivas'. Una visión general se puede encontrar en este artículo. Ignorando las dificultades técnicas, no importa ya que de todos modos querrías permitir representaciones proyectivas al hablar de física cuántica. Y luego, clasificar todas las representaciones del álgebra de Lorentz da lugar a una clasificación de todas las posibles configuraciones de espín (asumiendo que el espín está descrito por el grupo de Lorentz). Una fuente para lecturas adicionales podría ser D.J. Simms - Lie groups and quantum mechanics, aunque deberías estar familiarizado con la teoría básica de representaciones si quieres intentarlo (como primera lectura para teoría de representaciones, recomendaría B. Hall - Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction).
5. La cubierta universal del grupo de Lorentz es $SL_2(\mathbb{C}), vista como un grupo de Lie real (a veces se escribe como 'Spin$(1,3)$'). La clasificación de su álgebra de Lie realmente clasifica sus representaciones como si fuera un grupo de Lie simplemente conectado.

Answer 3

La razón por la cual el grupo de Lorentz complejo ($O(1,3;\mathbb{C}$) o cualquiera de sus subgrupos) es necesario en la física está suministrado por Streater & Wightman en su famoso libro "PCT, Spin-Statistics, And All That" en la página 13. Cito: "Es esencial en la demostración del teorema PCT como veremos". De hecho, si vas a la página 142 y lees toda esa sección sobre el teorema PCT, se necesitan el grupo de Lorentz complejo y su isomorfismo local a $ SL(2,\mathbb{C}) \otimes SL(2,\mathbb{C})$.

Tu otra pregunta:

En [1] sólo veo la afirmación que SO+(1,3;R) es un subgrupo de SO(1,3;C), pero ¿por qué es relevante para la teoría de representación de SO(1,3;R) si SO(1,3;C) no es simplemente conexo y la cubierta universal de SO(1,3;R)?

tiene una respuesta simple: no lo es. Son temas separados. La teoría de representación de $SO(1,3;\mathbb{R})$ puede ser abordada muy bien sin usar elementos de grupo complejos.

Answer 4

La respuesta es realmente simple. La representación del espínor de Weyl como la representación del campo del electrón incluye además del grupo de Lorentz con sus generadores Espacio-Tiempo también un grado de libertad Interno: la fase.

Una representación física debería tener la forma:

$$\mbox{Generadores de Espacio-Tiempo}~~ \times ~~\mbox{Generadores Internos}$$

Estos generadores deberían actuar independientemente entre sí. Deben ser independientes del orden para que comuniquen. La complejización incrementa el grupo para incluir la fase del campo. El operador interno para variar la fase del campo es.

$$e^{-i\phi}\psi$$

Los generadores de espacio-tiempo son los generadores de rotación y boost para que puedas ir de un marco de referencia a cualquier otro.

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Adición: Con respecto a tu otra pregunta en el comentario primero lo siguiente:

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De $\mathfrak{su}(2)_{\mathbb{C}} \oplus \mathfrak{su}(2)_{\mathbb{C}}$ a la física relativista del espín 1/2

Cada uno de los dos espinores $\xi_L$ y $\xi_R$ representa un vector en precesión $S$, el espín total. Ver la imagen:

El eje de precesión (típicamente $S_z$ pero puede ser cualquier uno) puede tener cualquier orientación arbitraria en el espacio, puede apuntar en cualquier dirección.

El operador $e^{-i\phi}$ actuando sobre $\xi$ hace que el espín total $S$ precese alrededor de $S_z$. Esto corresponde con la fase del espínor.

Los operadores $e^{-i\sigma^2*\phi}$ y $e^{\sigma^2* \phi}$ hacen precesar el espín total alrededor de $S_x$ y $S_y$ respectivamente. (con el conjugado complejo $*$ actuando a la derecha y $e^{G\phi} = \cos\phi + G\sin\phi$, donde $\phi$ es el medio ángulo).

Matemáticamente, el cálculo de los tres vectores de espín $S_x$, $S_y$ y $S_z$ y su suma $S$, el espín total, se remonta a Leonard Euler (1775) y Rodrigues. (La fórmula de Euler-Rodrigues) utilizando la representación de parámetros de Euler equivalentes de valor real mucho antes del descubrimiento de la Mecánica Cuántica y mayormente olvidada.

Recientemente encontré una nueva fórmula para calcular todos los vectores de espín de una vez con una sola multiplicación de matrices explicada aquí o con más detalle en las secciones 1.2, 1.3 y 1.4 del capítulo 1 y el capítulo completo 2 aquí.

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Ahora tenemos una imagen física de lo que representa un espinor y sabemos cómo calcularlo.

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Los equivalentes operadores de rotación de Lorentz actuando sobre un espinor $\xi$ rotan los vectores de espín $S_x$, $S_y$ y $S_z$ y su suma $S$, el espín total, alrededor del eje $x$, $y$ y $z$ respectivamente. El espín del campo biespinor $\psi$ está dado por la suma $S_R^z+S_L^z = S^z$ representando la corriente axial.

Los operadores de boost de Lorentz al actuar sobre el campo biespinor $\psi$ pueden entenderse de la siguiente manera: Dado que $\xi_R$ y $\xi_L$ se propagan en direcciones opuestas (en el marco de reposo) debemos restar $S_R^z-S_L^z = \vec{j}$ para encontrar la densidad actual vectorial que es proporcional al momento. Así es como un boost de Lorentz en cierta dirección proporciona un momento en esa dirección.