Dominio integral que contiene una copia de su campo de fracción.

Question

Deje $R$ integrante de dominio con fracción de campo $K$. Si existe un inyectiva anillo homomorphism de $K$ a $R$ , entonces es cierto que $R$ es un campo ?

Estrictamente hablando, no estoy diciendo $K \subseteq R$ y el inyectiva mapa decir $\phi : K \to R$ , posiblemente, podría ser cualquier cosa, así que no estoy muy seguro de si esto realmente implica $R$ es un campo o no (creo que debería ... )

Answer 1

Sea $(x_n)_{n\ge0}$ una secuencia de indeterminados algebraicamente independientes sobre el campo $F$ y deje $K=F(x_1,x_2,\dots,x_n,\dotsc)$ . Considere $R=K[x_0]$ , que no es un campo. Su campo de fracción es $F(x_0,x_1,\dots,x_n,\dotsc)\cong K$ .