¿Cuál es el número más pequeño de triángulos$45^\circ$ -$60^\circ$ -$75^\circ$ en mosaico de sustitución no trivial?

Question

Deje base = $45^\circ$–$60^\circ$–$75^\circ$ triángulo.

Más en Lo que es el número más pequeño de bases que un cuadrado puede ser dividido en? se determinó que el 23 de base fueron necesarios para hacer una $45^\circ$–$45^\circ$–$90^\circ$ triángulo.

Cómo acerca de la no-trivial de las disecciones de base en los triángulos semejantes? Empezar con la base y se divide en pequeñas copias de la base. Idealmente, el método debe ser específico para la base y no trabajar con otros triángulos. Además, al menos uno de los triángulos interno no debería tener bordes paralelos al triángulo original.

¿Cuáles son los más simples no trivial de las disecciones de base en los triángulos semejantes?

Answer 1

Hmm... Esto no exactamente ajuste a su criterio en que no es exclusivo de la $45^∘–60^∘–75^∘$ triángulo, pero el triángulo central aquí no tiene bordes paralelos a los bordes del triángulo original.

Los vértices son: $$\begin{array}{ccc} \{0,0\} \\ \{1,0\} \\ \left\{\frac{1}{2} \left(3-\sqrt{3}\right),\frac{1}{2} \left(3-\sqrt{3}\right)\right\} \\ \left\{\frac{1}{22} \left(21-2 \sqrt{3}\right),\frac{1}{22} \left(6+\sqrt{3}\right)\right\} \\ \left\{-\frac{3}{22} \left(-5+\sqrt{3}\right),0\right\} \\ \left\{\frac{1}{22} \left(6+\sqrt{3}\right),\frac{1}{22} \left(6+\sqrt{3}\right)\right\} \\ \left\{\frac{1}{286} \left(237-43 \sqrt{3}\right),\frac{1}{143} \left(21-2 \sqrt{3}\right)\right\} \\ \left\{\frac{1}{286} \left(216-41 \sqrt{3}\right),\frac{1}{22} \left(6+\sqrt{3}\right)\right\} \\ \left\{\frac{1}{286} \left(174-37 \sqrt{3}\right),\frac{1}{286} \left(36+17 \sqrt{3}\right)\right\} \\ \left\{\frac{996-197 \sqrt{3}}{1430},\frac{192+43 \sqrt{3}}{1430}\right\} \\ \left\{\frac{996-197 \sqrt{3}}{1430},\frac{306+73 \sqrt{3}}{1430}\right\} \\ \left\{\frac{1}{130} \left(102-19 \sqrt{3}\right),\frac{318+31 \sqrt{3}}{1430}\right\} \\ \end{array}$$

Esto se basa en los tres otros cuatro-auto-similares-triángulo de las disecciones más allá de la habitual de los puntos medios de los lados de uno: