¿Por qué $(A/I)\otimes_R (B/J)\cong(A\otimes_R B)/(I\otimes_R 1+1\otimes_R J)$?

Question

Durante la lectura, hay un isomorfismo que estoy teniendo problemas para abatanar ver.

Si usted tiene dos álgebras $A$ $B$ sobre un anillo conmutativo $R$, $I$ $J$ dos caras ideales en $A$$B$, entonces usted debe tener un isomorfismo $$ (A/I)\otimes (B/J)\cong (A\otimes B)/(I\otimes 1+1\otimes J). $$

Ahora hay bilineal mapas de$A/I\times B/J\to (A\times B)/(I+J)$, por lo que la característica universal del tensor de producto proporciona mapas únicos $(A/I)\otimes (B/J)\to (A\times B)/(I+J)$. Esto de alguna manera no llegar a la isomorfismo arriba, o estoy completamente fuera de la pista? ¿Cuál es la manera rápida de ver esto? Gracias!

Answer 1

Por las propiedades universales de cociente de álgebras, tensor de productos ( = co-productos de álgebras), tenemos para todos los $R$-álgebra $T$:

$\hom(A/I \otimes B/J,T) \cong \hom(A/I,T) \times \hom(B/J,T)$

$\cong \{f \in \hom(A,T),g \in \hom(B,T) : f|_I = 0, g|_J = 0\}$

$\cong \{h \in \hom(A \otimes_R B,T) : f:=h(- \otimes 1), g:=h(1 \otimes -) \text{ satisfy } f|_I = 0,~ g|_J = 0\}$

$\cong \{h \in \hom(A \otimes_R B,T) : h|_{I \otimes 1 + 1 \otimes J}=0\}$

$\cong \hom((A \otimes_R B)/(I \otimes 1 + 1 \otimes J),T)$

Por el Yoneda lema, hemos terminado.

Comentario: Este es uno de los miles de trivial isomorphisms en álgebra básica, que son los que normalmente demostrado (en los libros de texto, conferencias, etc.) en una muy complicada. En su lugar, usted siempre puede utilizar el Yoneda lexema y las propiedades universales. Y entonces no hay nada que hacer en todo ... Por cierto, este enfoque abstracto es el único que se aplica en las más abstractos de los contextos, donde usted no puede utilizar los elementos de todos modos.

Answer 2

Vamos a resolver el problema en dos pasos:

Paso 1
Considere la secuencia exacta de $R$-módulos de $0\to I\to A\to A/I \to 0$ .
Tensoring con $B$ y recordando que tensoring es derecho exacta obtenemos
la secuencia exacta $I\otimes_R B \to A\otimes_R B\to A/I\otimes_R B\to 0$.
Escrito $I^e$ para la imagen de $I\otimes_R B \to A\otimes_R B \;$ [el exponente e en $I^e$ es sinónimo de "extensión ideal de $I$ a sonar $A\otimes_R B $" ] obtenemos la identificación de $R$-álgebras $$A/I\otimes_R B\cong (A \otimes_R B)/I^e:\bar a\otimes b \mapsto \overline {a \otimes b} \quad (*)$$

Paso 2
La aplicación de la correspondiente resultado en el Paso 1 en el lado derecho del producto tensor tenemos $$A/I\otimes_R B/J\cong (A/I\otimes_R B)/J^e \quad (**)$$
Aplicando de nuevo el Paso 1, se reemplazan $A/I\otimes_R B$ $(**)$ $(A\otimes_R B)/I^e$ y obtener
$$(A/I\otimes_R B)/J^e \cong \frac {(A\otimes_R B)/I^e}{I^e+J^e/I^e} \quad (***)$$ donde el ideal $I^e +J^e$ , denotado $I\otimes 1+1\otimes J$ en Danielle pregunta, es el subgrupo de $A\otimes_R B$ generado por los elementos de la forma $i\otimes b+a\otimes j$ donde $i\in I, b\in B, j\in J,\, a\in A$

Conclusión
Finalmente, gracias a Noether obtenemos de $(**)$ $(***) $ la final requerido la identificación de $R$-álgebras : $$ A/I\otimes_R B/J\cong (A\otimes_R B)/(I^e +J^e):\bar a\otimes \bar b\mapsto \overline {a\otimes b} \quad (****) $$

Answer 3

Pensar $$ A\times B \rightarrow a/I \otimes B/J \quad\text{inducida a partir de}\quad A \times B \rightarrow a/J \quad \text{y} \quad\times B \rightarrow B/J $$ dándole un homomorphism $$ \Phi: \otimes B \rightarrow a/I \otimes B/J \quad \Phi(a\otimes b)=(a+I)\otimes(b+J) $$ Es obvio que $I\otimes 1 \subseteq \operatorname{Ker}\Phi$ y $1\otimes J \subseteq \operatorname{Ker}\Phi$ para que su suma es también en el núcleo. Queda por demostrar que la suma es el núcleo.

Tenga en cuenta que $I\otimes 1$ es el ideal generado por a $f(I)$ $f:A\rightarrow A\otimes B$ $1\otimes J$ es el ideal generado por a$g(J)$$g:B \rightarrow A\otimes B$. Luego hay homomorphisms $$ A/I \rightarrow\otimes B/(f(I)+g(J)) \quad \text{y} \quad B/J \rightarrow\otimes B/(f(I)+g(J)) $$ y por lo tanto $$ A/I \otimes B/J \rightarrow\otimes B/(f(I)+g(J)) \rightarrow\otimes B/\operatorname{Ker}(\Phi) \rightarrow a/I \otimes B/J $$ Puede usted demostrar que $f^{-1}(f(I)+g(J))=I$$g^{-1}(f(I)+g(J))=J$?

Answer 4

La manera rápida de ver esto es simplemente escribir el isomorfismo. En este caso es "obvio": envía $a \otimes b$$a \otimes b$. Usted sólo necesita verificar y su inversa son bien definidos.

En cuanto a su enfoque, primero ¿qué significa realmente por $(A \times B)/(I + J)$? Fue lo que supone ser $I \times B + A \times J$? O quizás $I \times 0 + 0 \times J$$I \times J$?

Usted está fuera de la pista un poco-lo que significa que el espacio, el mapa de $A/I\times B/J\to (A\times B)/(I+J)$ va a ser lineal, no bilineal. Estoy seguro de que su idea va a funcionar una vez que averiguar qué es lo que tienen y lo que realmente necesita para mostrar. (pero va a ser un poco desordenado, me imagino)

EDIT: Ahora que lo he pensado, no es tan desordenado si se organizan bien. La manera en que yo pensaba de ella, el primer paso es darse cuenta de:

• Un homomorphism $(A \otimes B) / (I \otimes 1 + 1 \otimes J) \to C$

es la "misma" cosa " como

• Un homomorphism $\phi: A \otimes B\to C$ $\phi(i \otimes 1) = \phi(1 \otimes j) = 0$

que es la "misma" cosa " como

• Un bilineal mapa de $\phi : A \times B \to C$ $\phi(i,1) = \phi(1,j) = 0$

que es....