Los subconjuntos de$\mathbb Z/n\mathbb Z$ se separan con algunos de sus cambios

Question

Hay descripciones de todos los subconjuntos de a$X$ de $\mathbb Z/n\mathbb Z$ con la siguiente propiedad: existe $a\ne 0$ en $\mathbb Z/n\mathbb Z$ tal que $X$ es discontinuo con $X + a = \{x + a \pmod n\mid x \in X\}$?

Por ejemplo, para $n=5$, con 1 o 2 elementos satisface esta propiedad. Yo solía creer que el mismo se cumple para cualesquiera subconjuntos de tamaño menor o igual a $\frac{n}{2}$, pero para $n=6$, un contraejemplo puede ser fácilmente construido.

Probablemente hay algunos bien conocido teorema acerca de él?

Answer 1

Denotar por $X-X=\{x-y\mid x,y\in X\}$.

Entonces: $X$ es disjunta de algunos de sus shift iff $X-X\subsetneq\mathbb Z/n\mathbb Z$. Además:

$X\cap (a+X)=\emptyset$ fib $a\notin X-X$.

Para $(\Rightarrow)$: si $X\cap (a+X)=\emptyset$, a continuación, $a\notin X-X$, porque de lo contrario $a=x-y$ para algunos $x,y\in X$, pero, a continuación, $x=a+y\in X\cap (a+X)$.

Para $(\Leftarrow)$: si $X\cap (a+X)\neq\emptyset$, a continuación, $x=a+y$ para algunos $x,y\in X$, lo $a=x-y\in X-X$. $\square$

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Tenga en cuenta que algo similar se cumple para cualquier grupo de $G$. Para $X\subseteq G$, $X\cap aX=\emptyset$ fib $a\notin XX^{-1}$, e $X\cap Xa=\emptyset$ fib $a\notin X^{-1}X$. (Aquí se $XX^{-1}=\{xy^{-1}\mid x,y\in X\}$, y del mismo modo para $X^{-1}X$.)