Cálculo de la terminación de un anillo local

Question

Dejemos que $X=\mathrm{Spec}(\mathbb{R}[a,b]/(a^2+b^2+1))$ y considerar el punto cerrado $p=(a)$ . Me gustaría calcular la finalización de $\mathcal{O}_{X,p}$ con respecto a su ideal máximo $\mathfrak m$ .

Desde $(\mathcal{O}_{X,p},\mathfrak{m}) $ es un anillo local regular noetheriano de dimensión uno con campo de residuos $\mathbb{C}$ Así que será $(\widehat{\mathcal{O}}_{X, \, p},\widehat{\mathfrak m})$ y por el teorema de la estructura de Cohen esto debería producir que $\widehat{\mathcal{O}}_{X, \, p}\cong \mathbb{C}[[t]]$ (He copiado el argumento de esta respuesta de MO ).

He intentado escribir el isomorfismo explícito, pero no veo cómo construir un mapa $\mathbb{C}[[t]]\to (\mathbb{R}[a,b]/(a^2+b^2+1))_\mathfrak m)/a^n=\mathcal{O}_{X,p}/\mathfrak m^n$ para $n\geq 3$ .

Answer 1

El truco consiste en utilizar El lema de Hensel .

Dejemos que $A=\widehat{\mathcal{O}}_{X,p}$ para ahorrarme el tener que teclear. $\newcommand\mm{\mathfrak{m}}$

Basándonos en los dos primeros casos, generalmente esperamos que $i\mapsto b$ (ish) y $t\mapsto a$ .

El primer paso es encontrar la raíz real $u\in A$ de $x^2+1$ que satisface $u\equiv b\pmod{\mm}$ .

El lema de Hensel nos garantiza tal cosa, pero sospecho que te gustaría un procedimiento para calcularlo.

La forma en que funciona el lema de Hensel es que encontramos inductivamente soluciones a la ecuación mod $\mm^n$ . Aquí están los primeros ejemplos.

$b$ es una solución mod $\mm$ y $b$ sigue siendo una solución mod $\mm^2$ . Ahora queremos encontrar $b_2\in\mm^2/\mm^3$ con $(b+b_2)^2+1\equiv 0 \pmod{\mm^3}$ . Considere ahora $$0=(b+b_2)^2+1\equiv b^2+2bb_2+1\pmod{\mm^3}. $$ Reordenando, y usando eso $2b$ es invertible (ya que localizamos en $(a)$ ), obtenemos $$b_2 = -\frac{b^2+1}{2b}+\mm_3.$$ Entonces, de forma similar, tenemos $$b_3 = \frac{-(b+b_2)^2}{2b} +\mm^4,$$ $$b_4 = \frac{-(b+b_2+b_3)^2}{2b} + \mm^5,$$ y así sucesivamente. En última instancia, obtenemos $c = b+b_2+b_3+\cdots$ que es un elemento válido de la terminación (ya que $b_n\in \mm^n/\mm^{n+1}$ para todos $n$ ), y $c^2+1=0$ .

Esto nos da el mapa $\Bbb{C}\to A$ .

Envío de $t\to a$ deberíamos obtener el isomorfismo deseado $\Bbb{C}[[t]]$ a $A$ .