Aquí todo el mundo está correctamente señalando que no se puede utilizar $\displaystyle \lim_{x\to 0} \dfrac{\tan x}{x}=1$, pero no ha declarado por eso es que.
Ahora déjeme que se lo explique.
Antes de continuar me gustaría aclarar un hecho.
Deje $f(x)$ e $g(x)$ dos funciones tales que $\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=l$ e $\displaystyle \lim_{x\to a} g(x)=m$ a continuación,
$$\displaystyle \lim_{x\to a}\left(f(x)\pm g(x)\right) =l\pm m $$
Pero a la inversa es decir,
$$l\pm m = \displaystyle \lim_{x\to a}\left(f(x)\pm g(x)\right)\ \ \ ....(1)$$
no puede ser cierto.
He marcado esto como $(1)$ debido a que me referiré más adelante.
Hizo esto
$$
\lim_{x\to 0} \left({1\over x^2} - \frac{\tan x}{x^3}\right)
=\lim_{x\to 0}\left({1\over x^2} - {\tan x\sobre x}\cdot {1\over x^2}\right)
$$
Todo parece bien uptill aquí. Ahora usted desea utilizar este establecimiento $\displaystyle \lim_{x\to 0} \dfrac{\tan x}{x}=1$
Así que usted tendrá que dividir esta expresión como esta.
$$
\lim_{x\to 0}\left({1\over x^2} - {\tan x\sobre x}\cdot {1\over x^2}\right)
$$
$$\implies \lim_{x\to 0}{1\over x^2} - \lim_{x\to 0}\left({\tan x\over x}\cdot {1\over x^2}\right) $$
$$\implies \lim_{x\to 0}{1\over x^2} - \lim_{x\to 0}{\tan x\over x}\cdot\lim_{x\to 0} {1\over x^2} $$
Ahora usted puede utilizar $\displaystyle \lim_{x\to 0} \dfrac{\tan x}{x}=1$ para obtener este
$$
\lim_{x \to 0}\frac{1}{x^2} - \lim_{x \to 0}\frac{1}{x^2}$$
Al llegar a esta etapa, se hizo este paso
$$
\lim_{x \to 0} \left(\frac{1}{x^2} - \frac{1}{x^2}\right)
$$
Pero esto es incorrecto, como ya he indicado en el punto (1) anterior.
Ahora que había por qué es que. Es porque
$$\lim_{x\to 0}{\tan x\over x}\cdot\lim_{x\to 0} {1\over x^2} \neq \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} $$
pero
$$\lim_{x\to 0}{\tan x\over x}\cdot\lim_{x\to 0} {1\over x^2} = 1.00000000000..........0001 \cdot \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} $$
Este número está tan cerca de $1$ que hemos aproximado a $1$.
Por lo tanto
$$\lim_{x\to 0}{1\over x^2} - \lim_{x\to 0}{\tan x\over x}\cdot\lim_{x\to 0} {1\over x^2} = \lim_{x\to 0} {1\over x^2} - 1.00000000000..........0001 \lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x^2} $$
Por eso dije en el punto de $(1)$ las converse no puede ser cierto.
Si usted evaluar correctamente el límite como @Jose Carlos Santos y @romano hizo. Usted encontrará la respuesta a la se $-\dfrac{1}{3}$.
Claramente se puede notar que esta respuesta es negativa, debido a que $$1.00000000000..........0001 \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} > \lim_{x\to 0} {1\over x^2} $$
