¿Cómo encontrar$\lim \limits_{x \to 0} \frac{\sqrt{x^3+4x^2}} {x^2-x}$ cuando$x\to 0^+$ y cuando$x\to 0^-$?

Question

Estoy tratando de encontrar: $$ \lim \limits_{x \to 0} \frac{\sqrt{x^3+4x^2}} {x^2-x} $$

Dado que existe una discontinuidad en $x=0$ sé que tengo que tomar de los límites de ambos lados, $x \to 0^+$ e $x \to 0^-$, y comprobar si son iguales.

Si me factor que obtengo: $$ \lim \limits_{x \to 0} \left(\frac{\sqrt{x+4}} {x-1}\right) = - 2$$

Es este el mismo que $x \to 0^+$?

Si es así, ¿cómo se enfoque el problema de $x \to 0^-$?

Si no, ¿cómo puedo hacerlo desde ambos lados?

Answer 1

Tenga en cuenta que su expresión después de factoring, se convierte en :

$$\frac{\sqrt{x^3 + 4x^2}}{x^2-x} = \frac{\sqrt{x^2(x+4)}}{x(x-1)} = \frac{|x|\sqrt{x+4}}{x(x-1)}$$

Esto es exactamente donde está su error. Cuando el factor de debajo de la raíz cuadrada, $x^2$ hace $|x|$. Eso significa que, por definición de valor absoluto, que :

$$|x| = \begin{cases} x &x\geq 0 \\-x &x<0 \end{cases}$$

Finalmente, el lado izquierdo límite de $2$ y el lado derecho, $-2$, lo que significa que el límite no existe.

Answer 2

Tenga en cuenta que la respuesta depende del signo de $x$ : \begin{align} \frac{\sqrt{x^3+4x^2}} {x^2-x} &=\frac{2|x|\sqrt{1+\frac x4}}{-x(1-x)}\\ &=\begin{cases} -2\frac{\sqrt{1+x/4}}{1-x}&x\to 0^+\\ 2\frac{\sqrt{1+x/4}}{1-x}&x\to 0^-\\ \end {cases} \ end {align}

Answer 3

Tenemos $\sqrt{x^3+4x^2}=\sqrt{x^2(x+4)}=|x|\sqrt{x+4}$ !

Ahora considere dos casos:

1. $x \to 0^{+}$ y 2. $x \to 0^{-}$ .

Answer 4

Sugerencia: si factoriza, obtiene $$\frac{|x| \sqrt{x+4}}{x(x-1)} $ $ Considere ese $|x|/x = 1$ si $x > 0$ y $|x| / x = -1$ si $x <0$ .

Answer 5

Límite por el lado derecho es

$ \lim \limits_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x^3+4x^2}} {x^2-x} \\ = \lim \limits_{x \to 0^+} \left(\frac{ |x| \sqrt{x+4}} { x(x-1) }\right) \\ = \lim \limits_{\delta \to 0} \left(\frac{ |0+\delta| \sqrt{ (0+\delta) +4}}{ (0+\delta)( (0+\delta) -1 ) }\right) \ [ \ \text{sustituyendo} \ x = 0 + \delta \ , \delta > 0 \ ] \\ = \lim \limits_{\delta \to 0} \left(\frac{ \delta \sqrt{ \delta+4}}{ \delta (\delta-1) }\right) \\ = -2 $

Límite del lado izquierdo es

$ \lim \limits_{x \to 0^-} \frac{\sqrt{x^3+4x^2}} {x^2-x} \\ = \lim \limits_{x \to 0^-} \left(\frac{ |x| \sqrt{x+4}} { x(x-1) }\right) \\ = \lim \limits_{\delta \to 0} \left(\frac{ |0-\delta| \sqrt{ (0-\delta) +4}}{ (0-\delta)( (0-\delta) -1 ) }\right) \ [ \ \text{sustituyendo} \ x = 0 - \delta \ , \delta > 0 \ ] \\ = \lim \limits_{\delta \to 0} \left(\frac{ -\delta \sqrt{ 4 - \delta }}{ \delta (-1 - \delta) }\right) \\ = 2 $

$ \, por tanto \ \lim \limits_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x^3+4x^2}} {x^2-x} \neq \lim \limits_{x \to 0^-} \frac{\sqrt{x^3+4x^2}} {x^2-x} \\ \Rightarrow \lim \limits_{x \to 0} \frac{\sqrt{x^3+4x^2}} {x^2-x} \ \text{no existe} $