Si$I$ es un intervalo de$\Bbb{R}$,$f: I \to \Bbb{R}$ conectado y$\forall y \in I\; f^{-1}(\{y\})$ cerrado en$I$ entonces$f$ es continuo

Question

He encontrado este teorema en un libro de cálculo

Decimos que una función de $f: I \to \Bbb{R}$, $I$ intervalo de $\Bbb{R}$ está conectado si $\forall J \subseteq I$, $J$ intervalo, $f(J)$ es un intervalo. Probar que si $f$ está conectado y si $\forall y \in \Bbb{R} \, f^{-1}(\{y\})$ es un conjunto cerrado en la topología relativa de $I$, a continuación, $f$ es continua.

No tengo idea de donde puedo empezar, me puede dar algunos consejos?

Answer 1

Para $x \in I$ deje $I_n(x) = I \cap (x - \frac{1}{n},x + \frac{1}{n})$. Este es un barrio abierto de $x$ en $I$. Tenemos $$(*) \phantom{xx} \bigcap_{n=1}^\infty f(I_n(x)) = \{ f(x) \} .$$ "$\supset$" es trivial. Para comprobar "$\subset$", vamos a $y \in \bigcap_{n=1}^\infty f(I_n(x))$. Entonces no existir $x_n \in I_n(x)$ tal que $f(x_n) = y$. Obviamente $x_n \to x$. Desde $f^{-1}(y)$ es cerrado en $I$ , podemos ver que $x \in f^{-1}(y)$, es decir, $f(x) = y$.

Deje $\varepsilon > 0$. Desde $I_n(x)$ es un intervalo, también se $J_n = f(I_n(x))$ es un intervalo. Tenemos $J_n = \langle a_n,b_n \rangle$, donde $\langle a_n,b_n \rangle$ representa un abierto, semi-abierto o cerrado intervalo tal que $a_n \le f(x) \le b_n$. $a_n = -\infty$, $b_n = \infty$ es permitido. La secuencia de $(a_n)$ está en aumento, la secuencia de $(b_n)$ disminuyendo. Pero $(*)$ muestra que $a_n, b_n \to f(x)$, por lo tanto $f(I_n(x)) = J_n \subset (f(x)- \varepsilon, f(x)+ \varepsilon)$ para suficientemente grande $n$. Esto significa que $f$ es continua.