Caracterizar la esfera mediante curvatura media.

Question

Sabemos el siguiente resultado: si$\Sigma$ es una superficie compacta que$$ \int_{\Sigma}H^2 \ge 4 \pi, $ $ donde con$H= \frac{1}{2}(\kappa_1+\kappa_2)$ denotamos la curvatura principal. Tengo que demostrar que$\int_{\Sigma} H^2 = 4 \pi$ si y solo si$\Sigma$ es una esfera$\mathbb{S}_R$. Ahora, si$\Sigma=\mathbb{S}_R $ entonces sabemos que$\kappa_1=\kappa_2=\frac{1}{R}$, entonces$$ \int_{\mathbb{S}_R}H^2 d\mathcal{A}_{\mathbb{S}_R}=\frac{1}{R^2} \int_{\mathbb{S}_R} 1 \,\,d\mathcal{A}_{\mathbb{S}_R} = \frac{4\pi R^2}{R^2}= 4 \pi .$ $ ¿Cómo puedo probar la otra parte de la propuesta? ¡Gracias!

Answer 1

Recuerde que$K= k_1k_2$ y el teorema de Gauss-Bonnet implica $$ \ int_S K dS = 2 \ pi \ chi (S) $$

Si$S$ es homeomorfo a$S^2$ entonces$$ \int_S K dS=4\pi $ $

Y $$ H ^ 2 = \ frac {k_1 ^ 2 + k_2 ^ 2 +2k_1k_2} {2} \ geq \ frac {| K | + K} {2} \ geq K $$