Probar que esta es una métrica.

Question

$d:\Bbb C \times \Bbb C \to \Bbb R$ Definido por$$d(z,w) := 2\frac{|z-w|}{\sqrt{(1+|z|^2)(1+|w|^2) }},$$ prove that $ d$ is metric in $ \ Bbb C $.

Había demostrado que$d$ satisface las dos condiciones de ser métricas. No sé cómo probar la desigualdad triangular. ¿Alguien puede ayudarme?

Answer 1

Lema. Deje $(E,\langle,\rangle)$ ser un producto interior en el espacio. Entonces, para los vectores no nulos $x$ $y$ hemos $$ \left\Vert\frac{x}{\Vert x\Vert^2}-\frac{y}{\Vert y\Vert^2}\right\Vert=\frac{\Vert x-y\Vert}{\Vert y\Vert \Vert x\Vert}. $$

Prueba.De hecho, $$\eqalign{ \left( \Vert y\Vert \Vert x\Vert \left\Vert\frac{x}{\Vert x\Vert^2}-\frac{y}{\Vert y\Vert^2}\right\Vert\right)^2&= \left\Vert\frac{\Vert y\Vert}{\Vert x\Vert}x-\frac{\Vert x\Vert}{\Vert y\Vert}y\right\Vert^2\cr &=\Vert y\Vert^2+\Vert x\Vert^2-2\Re(\langle x,y\rangle)\cr &=\Vert x-y\Vert^2 } $$

Corolario. Deje $(H,\langle,\rangle)$ ser un producto interior en el espacio. Para $(x,y)\in H^2$, definir $$d(x,y)=\frac{\Vert x-y\Vert}{\sqrt{(1+\Vert x\Vert^2)(1+\Vert y\Vert^2)}}.$$ A continuación, $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$ por cada $x,y,z$$H$.

Prueba. En efecto, consideramos $E=H\times \mathbb{C}$, equipado con el interior del producto $$ \langle (x,a),(y,b)\rangle_E=\langle x,y\rangle_H+\bar{a}b $$ Aplicando el Lema para el cero elementos $X=(x,1)$ $Y=(y,1)$ vemos que $$ d(x,y)=\left\Vert \frac{X}{\Vert X\Vert^2}-\frac{Y}{\Vert Y\Vert^2}\right\Vert_E $$ Así, por $x,y,z$$H$,, (con la notación $X=(x,1)$, $Y=(y,1)$ y $Z=(z,1)$,) tenemos $$\eqalign{ d(x,z)&=\left\Vert \frac{X}{\Vert X\Vert^2}-\frac{Z}{\Vert Z\Vert^2}\right\Vert_E\cr &\leq\left\Vert \frac{X}{\Vert X\Vert^2}-\frac{Y}{\Vert Y\Vert^2}\right\Vert_E +\left\Vert \frac{Y}{\Vert Y\Vert^2}-\frac{Z}{\Vert Z\Vert^2}\right\Vert_E\cr &\leq d(x,y)+d(y,z), } $$ y el corolario de la siguiente manera.

Por último, la pregunta se corresponde con el caso en particular $H=\mathbb{C}$. debido a que el factor de $2$ es superfluo.