Resolviendo la ecuación funcional$f(x)\cdot f(y)-xy=f(x)+f(y)-1$

Question

Como en el título. Sustituyendo$y=x$ obtenemos:$$ f(x)^2-x^2=2f(x)-1 $ $ después de reorganizar, obtenemos:$$ f(x)(f(x)-2)=(x+1)(x-1) $ $ Y no puedo asumir que eg$f(x)=x+1$ y$f(x)-2=x-1$, entonces, ¿qué debo hacer? ¿hacer ahora?

Answer 1

Tenga en cuenta que en su primer paso tenía la siguiente ecuación:

PS

En lugar de factorizar, si reorganizamos todos los términos de un lado obtenemos:

PS

Tenga en cuenta que tenemos una posición cuadrática, donde$$f(x)^2-x^2=2f(x)-1$ actúa como nuestro$$f(x)^2 - 2f(x) - x^2 + 1 = 0$ y el término$f(x)$ es nuestro término constante.

Resolviendo, obtenemos:

$x$ $$1-x^2$ $$$f(x) = \frac{2 \pm \sqrt{4 -4(1-x^2)}}{2}$ $$$ = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 + 4x^2)}}{2}$ $

Por lo tanto, obtenemos$$ = \frac{2 \pm \sqrt{4x^2}}{2}$ soluciones para$$ = \frac{2 \pm 2x}{2}$:

$2$ $$f(x)$ $

Answer 2

Considerar $g(x)=f(x)-1$. Luego podemos escribir la identidad como $$ (g (x) +1) (g (y) +1) -xy = g (x) + g (y) +1 $$ o $$ g (x) g ( y) = xy $$ Creo que puedes continuar desde aquí.

Answer 3

INSINUACIÓN:

La igualdad es equivalente a$$(1-f(x))\cdot(1-f(y)) = x y$ $ y con$h(x) = 1-f(x)$ tenemos$$h(x) h(y) = x y$ $

con las soluciones$h(x) \equiv x$ y$h(x) \equiv -x$, así que$f(x) \equiv 1-x$ y$f(x) \equiv 1+x$ son las dos soluciones.