Calcular el límite (¿Teorema de exprimir?)

Question

Tengo que calcular el límite de esta fórmula como $n\to \infty$ .

PS

Probé el Teorema de Squeeze, pero obtengo algo como esto:

PS

Como puedes ver, los límites de otras dos secuencias no son los mismos. ¿Me puedes dar algunos consejos? Gracias de antemano.

Answer 1

Reorganizar como $$ \frac{1}{n}\left(\sqrt{\frac{n}{n+1}}+\sqrt{\frac{n}{n+2}}+\ldots+\sqrt{\frac{n}{n+n}}\right) = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{1+\frac{k}{n}}}$$ que es una suma de Riemann para $$ \int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt{1+x}}=2\sqrt{2}-2.$$ Desde $\frac{1}{\sqrt{1+x}}$ es una función convexa en $[0,1]$, los de Hermite-Hadamard y Karamata desigualdades darnos ese $\{a_n\}_{n\geq 1}$ es un aumento de la secuencia convergente a $2\sqrt{2}-2$. Además no es difícil comprobar que $a_n= 2\sqrt{2}-2-\Theta\left(\frac{1}{n}\right)$ como $n\to +\infty$.

Answer 2

Como alternativa por Stolz-Cesaro

PS

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y

PS

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Answer 3

para una función decreciente como $1/\sqrt x$ con $x$ positivo, una imagen simple muestra $$ \int_a^{b+1} \; f(x) \; dx < \sum_{k=a}^b f(k) < \int_{a-1}^{b} \; f(x) \; dx $ $ $$ \int_{n+1}^{2n+1} \; \frac{1}{\sqrt x} \; dx < \sum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{\sqrt k} < \int_{n}^{2n} \; \frac{1}{\sqrt x} \; dx $ $ para llegar allí $$ 2 \sqrt {2n+1} - 2 \sqrt {n+1} < \sum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{\sqrt k} < 2 \sqrt {2n} - 2 \sqrt {n} $ $ $$ 2 \sqrt {2+\frac{1}{n}} - 2 \sqrt {1+\frac{1}{n}} < \frac{1}{\sqrt n} \sum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{\sqrt k} < 2 \sqrt {2} - 2 \sqrt {1} $ $