Para resolver una EDO

Question

Para resolver: $\displaystyle (1+x^2)\frac{d^2y}{dx^2}+1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2=0$

Mi intento: Tomar $\displaystyle \frac{dy}{dx}=p$

Ahora sí: $\displaystyle (1+x^2)\frac{dp}{dx}+1+p^2=0$

$\displaystyle \frac{dp}{1+p^2}=-\frac{dx}{(1+x^2)}$

Integrar, $\displaystyle \tan^{-1}p=-\tan^{-1}x$

Así que ahora, ¿podemos tomar esto como $\displaystyle p = -x$ ?

Si puedo, terminamos con: $\displaystyle \frac{dy}{dx}=-x+c_1$

La respuesta parece diferente: $\displaystyle y=c_1x+(c_1^2+1)\log(x-c_1)+c_2$

¿En qué me estoy equivocando?

Answer 1

Continuando con mi comentario anterior. Tenemos $$ y' = p = \tan\bigl(-\tan x + c\bigr) = \frac{c_1-x}{1+c_1x }. $$ Ahora, en caso de que $c_1 = 0$ tenemos $y' = -x$ Por lo tanto $y = c_2 - \frac 12 x^2$ . De lo contrario, tenemos $$ y' \frac{c_1 - x}{1 + c_1x} = -\frac 1{c_1}\frac{-c_1^2 + c_1x}{1+c_1x} = -\frac 1{c_1} \cdot \left( 1 - (1+c_1^2)\frac 1{1+c_1 x} \right) $$ Por lo tanto, $$ y = c_2 - \frac 1{c_1} \cdot \left( x - \frac{1+c_1^2}{c_1}\log(1 + c_1 x)\right) $$