Funcion positiva

Question

Estoy tratando de probar el siguiente resultado:

Sea $\mu$ una medida de Lebesgue. Supongamos que $f$ es una aplicación positiva medible. Demuestre que $\mu\Big(\left\{x\in[0,1]: f>3\right\}\Big)$ es cero

Por favor ayúdame a hacerlo. Gracias

Answer 1

Llame a su conjunto $A:=\{f>1\}$. Supongamos por contradicción $\mu(A)>0$. A continuación, hay algunos $p>0$ tal que $A_p:=\{f>2^p\}$ tiene una medida de $\delta>0$ (esto es porque usted puede pensar de $A$ como el límite de los conjuntos de $A_p$ como $p\downarrow 0$).

A continuación, para todos los $n$,

\begin{align*} 2^{np} \delta \leq \int_\limits{A_p} f^n \; d\mu \leq \int_\limits{[0,1]} f^n \; d\mu \end{align*}

y dejando $n\rightarrow \infty$ conduce a una contradicción.

Answer 2

Sugerencia. Supongamos $\mu([f>1])>0$. Deje $k \in \mathbb{N}-\{0\}$ e $A_k =\left\{x\in[0,1]: f(x)>1+1/k \right\}$. Para todos los $k \in \mathbb{N}-\{0\}$ hemos $$ \int_{[0,1]}f^n(x)d\mu(x) \geq \int_{A_k}f^n(x)d\mu(x) \geq \int_{A_k}(1+\frac{1}{2k})^n d\mu(x) \geq (1+\frac{1}{2k})^n\mu(A_k) $$ El Lesbesgue medida es generado por el finito y abrir los intervalos de $\mathbb{R}$. Así que ser un buen comportamiento de la medida en el sentido de que $A_k\uparrow A$ entonces $\lim_{k\to \infty}\mu(A_k)=\mu(A)$. Esto significa que si $\lim_{k\to\infty}A_k=[f>0]$ entonces debe haber un valor de $k_0> 0$ tal que $\mu(A_{k_0})>0$