Sumando combinaciones

Question

Muestre no numéricamente que:

PS

La respuesta es la siguiente, pero no tengo idea de cómo se hizo:

$$ \begin{eqnarray} &\phantom{=}& {2\choose2} + {3\choose2} + {4\choose2} + {5\choose2} \\ &=& {3\choose3} + {3\choose2} + {4\choose2} + {5\choose2} \\ &=& {4\choose3} + {4\choose2} + {5\choose2} \\ &=& {5\choose3} + {5\choose2} \\ &=& {6\choose3} \end {eqnarray} $$

¿Podría alguien explicar esto? ¡Gracias!

Answer 1

Si desea elegir los elementos$k$ de los elementos$n$, puede hacerlo de cualquier manera:

1. elija$k$ elementos de los primeros$n-1$ elementos.

2. elija el último elemento y luego elija$k-1$ elementos de los primeros$n-1$ elementos.

Eso significa

${n\choose k} = {n-1\choose k} + {n-1\choose k-1}$

Answer 2

Una forma de pensar es que para elegir 3 de 6, una cosa que puedes hacer es elegir el 6º y luego elegir 2 de los 5 primeros ... o puedes saltarte el 6º, elegir el 5º. y luego 2 de los primeros 4, o puede omitir 5 y 6, pero elija el cuarto uno y 2 de los primeros 3, o salte los números 4, 5 y, pero luego debe elegir el tercero más 2 de los primeros 2 (ya que tienes que tener 3 de los 6 originales). Eso significa C (6,3) = C (5,2) + C (4,2) + C (3,2) + C (2.2).