Demostrar que cualquier subgrupo de un grupo cíclico es cíclico.

Question

estaba preguntando si esto es una prueba válida para la mencionada pregunta? Estoy bastante seguro de que no lo es, pero no exactamente seguro de por qué. Tal vez me estoy perdiendo el punto de pruebas por inducción (amateur...).

Deje $G$ ser un grupo cíclico generado por $g$ $H$ a un subgrupo de la misma. Desde $H$ es un subgrupo, $1_G\in H$, con lo que el subgrupo trivial es cíclico. Por el procedimiento de la inducción: $H=\lbrace g^i:0\leq i<k, \rbrace$ es cierto para el caso de $k=1$.

Así que asumir cierto para $n=k$$H=\lbrace g^i:0\leq i<k \rbrace$$H\cup \lbrace g^{k}\rbrace=\lbrace g^i:0\leq i<k \rbrace \cup \lbrace g^{k}\rbrace=\lbrace g^i:0\leq i<k+1 \rbrace$, por lo que ya es cierto para $n=k+1$ tenemos que es cierto para todos los $n\in \mathbb{N}$.

Esperemos que alguien pueda señalar la falla, gracias.

Answer 1

Abandonaría la inducción, ya que no te ayuda en el caso infinito. Deje que$g$ sea el generador de$G$. Supongamos que$H$ no es cíclico. Luego existen$j$ y$k$ primos relativamente donde$g^j$ y$g^k$ están en$H$. Pero como$j$ y$k$ son primos relativos, existe$a,b$ de manera tal que$aj+bk = 1$. Por lo tanto,$(g^j)^a+(g^k)^b = g$, así que$g$ está en$H$. Por lo tanto,$H=G$ que es cíclico, contradicción.

Answer 2

Dado que$H$ es un subgrupo de$G$, cada elemento de$H$ puede expresarse como$g^r$ para algunos$r\in \mathbb Z$. Una posibilidad es que$H$ sea trivial, por lo tanto cíclico. De lo contrario, deje que$m$ sea el valor menos positivo de$r$. Entonces$H$ es el grupo cíclico generado por$g^m$. De lo contrario, hay un elemento$g^n\in H$ con$n=km+l$ y$1\leq l \lt m$, por lo que$g^l\in H$, lo cual es una contradicción.

El menos positivo está justificado por$g^r\in H \implies g^{-r}\in H$, excluyendo el grupo trivial.

Answer 3

Para $\mathbb{Z}$, utilice el algoritmo de la división para demostrar que cualquier subgrupo de $H\le \mathbb{Z}$ es de la forma $\langle n \rangle$ donde $n$ es el más pequeño elemento positivo de $H$.

Deje $G$ ser un grupo cíclico con generador de $a$, a continuación, defina un grupo de homomorphism $f:\mathbb{Z}\to G$ donde $1\mapsto a$. Este mapa es surjective desde $\langle a\rangle = G$. Por lo tanto,$G\cong \mathbb{Z}/\ker f$. Pero $\ker f$ ser un subgrupo de $G$ es en la forma $\langle n\rangle$, y llegamos a la conclusión de que $G\cong \mathbb{Z}/\langle n\rangle$. Si $n = 0$,$G\cong \mathbb{Z}$. Si $n = 1$,$G\cong 0$. Si $n$ es otra cosa, a continuación,$G\cong \mathbb{Z}_n$. Estos son hasta el isomorfismo sólo es posible cíclico de los grupos.

Para $\mathbb{Z}_n$, el uso del teorema de Lagrange. Sus posibles subgrupos se $\langle d\rangle \cong\mathbb{Z}_{n/d}$ donde $d|n$.

Answer 4

1. Si su prueba es verdadera, comprobó que el subgrupo$H$ del grupo$\langle a \rangle$ siempre es$\{a^i \mid 0 \le i < k\}$, para algunos$k$. Eso es falso

2. La inducción es falsa, finalmente no entiendo el intento, pero si agrega un elemento$x$ al grupo$H$, y no agrega$x^{-1}$,$H \cup \{x\}$ no es un grupo.

Answer 5

No, usted no puede hacer la inducción de esa manera. ¿Por qué debería de $H=\{g^i:0\le i<k\}$?

El más limpio de la prueba explota el conocimiento de los subgrupos de $\mathbb{Z}$ y el homomorphism teoremas.

1. Si $H$ es un subgrupo de $\mathbb{Z}$ (con respecto a la suma, por supuesto), a continuación, $H=n\mathbb{Z}$ para un único entero $n\ge0$.

2. Si $N$ es un subgrupo normal de $G$, luego los subgrupos de $G/N$ son exactamente los de la forma $H/N$ donde $H$ es un subgrupo de $G$ contiene $N$.

Ahora, con este conocimiento, considere la posibilidad de un grupo cíclico $G$; luego hay un surjective homomorphism $\varphi\colon\mathbb{Z}\to G$, por lo que su kernel $\ker\varphi=n\mathbb{Z}$ para $n\ge0$.

Por lo tanto, se puede reducir al caso en que $G=\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$.

Un subgrupo de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ es de la forma $H/n\mathbb{Z}$ donde $H$ es un subgrupo de $\mathbb{Z}$ contiene $n\mathbb{Z}$; por lo tanto $H=m\mathbb{Z}$ donde $m$ divide $n$. Desde $m\mathbb{Z}$ es, obviamente, cíclico, también su cociente $m\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ es cíclico.