¿Se puede "ver" a Abel-Ruffini mirando los gráficos de los polinomios?

Question

Los de Abel-Ruffini teorema de los estados que

no hay ninguna solución algebraica, es decir, la solución de los radicales – el general de ecuaciones polinómicas de grado cinco o superior con coeficientes arbitrarios.

El estándar de la prueba de ello se utiliza la teoría de Galois y es casi puramente algebraica, usa resumen de permutaciones, y por lo tanto no es muy visual.

Me pregunto, si el hecho de que los polinomios de grado cinco o más no tienen solución general en los radicales de alguna manera puede ser visto por mirar las gráficas de los polinomios:

Que las propiedades visuales de hacer las gráficas de polinomios de grado cinco o más que (si los hubiere) que son de alguna manera "responsable" por el hecho de no tener soluciones radicales y que las gráficas de polinomios de grado menor de cinco no tienen?

Dos tipos de gráficos podría ser considerado;

• la función de los gráficos de $P:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ envío de $x$ a $P(x)$

$P(x) = x^5 -4x^3 + 3x$

• el cero curvas en el plano complejo con $\operatorname{Re}(P(z)) = 0$ e $\operatorname{Im}(P(z)) = 0$

$P(x) = x^5 -2x^3 -x^2+ 3x$

Answer 1

Tan lejos como las gráficas de funciones polinómicas de $\mathbb R$ a $\mathbb R$ se refiere, la respuesta es negativa. De hecho, podemos resolver por radicales de cada ecuación polinómica de la typ $x^3+x=a$, donde $a$ es un número algebraico, pero nosotros no pueden resolver por radicales de la mayoría de las ecuaciones de la forma $x^5+x=a$. Sin embargo, sus gráficos son muy similares visualy. Simplemente traducir arriba o abajo de los gráficos de $x^3+x$ e de $x^5+x$ respectivamente. Y se parecen a esto:

En el complejo de la versión, no sé la respuesta, pero yo estaría muy sorprendido si resultó ser afirmativa.

Answer 2

Aquí está un parcial de respuesta "sí":

Si $f(x)$ es un polinomio de grado $p$ por un extraño prime $p$, y si $f(x)$ tiene exactamente dos nonreal raíces (es decir, que se ha $p-2$ real en las raíces, que se puede "ver" en el gráfico), entonces el grupo de Galois (de la división de campo de la) $f$ sobre $\mathbf{Q}$ es isomorfo al grupo simétrico $S_p$. En particular, si $p > 3$, este grupo no es solucionable, por lo que no puede resolver el polinomio mediante radicales.

Para ver esto, sólo tenga en cuenta que:

1. Complejo conjugación será una transposición en el grupo de Galois (como se transpone los dos nonreal raíces y corrige el resto.

2. El grupo de Galois actúa transitivamente sobre las raíces. Transitivo subgrupo de $S_n$ es de orden divisible por $n$; en este caso se ha pedido divisible por $p$ y por lo tanto debe contener una $p$-ciclo.

3. $S_p$ es generado por cualquier $p$-y del ciclo de transposición.