Deje que$(E,\langle \cdot,\cdot\rangle_1)$,$(F,\langle \cdot,\cdot\rangle_2)$ sean dos espacios de Hilbert complejos. Recordamos $$ E \ otimes F: = \ left \ {\ xi = \ sum_ {i = 1} ^ dv_i \ otimes w_i: \; d \ in \ mathbb {N}, \; \; v_i \ en E, \; \; w_i \ en F \ right \}. $$
Dotamos$E \otimes F$, con el siguiente producto interno $$ \ langle \ xi, \ eta \ rangle = \ sum_ {i = 1} ^ n \ sum_ {j = 1} ^ m \ langle x_i, z_j \ rangle_1 \ langle y_i, t_j \ rangle_2, $$ para$\xi=\displaystyle\sum_{i=1}^nx_i\otimes y_i\in E \otimes F$ y$\eta=\displaystyle\sum_{j=1}^mz_j\otimes w_j\in E \otimes F$.
Deje que$(x_n)_n\subset E$ y$(y_n)_n\subset F$ sea tal que$\displaystyle\lim_{n\to+\infty}x_n=x$ y$\displaystyle\lim_{n\to+\infty}y_n=y$. Por qué$$\displaystyle\lim_{n\to+\infty}x_n\otimes y_n=x\otimes y\;?$ $
Gracias.
