Cierre reflexivo del espacio de Banach.

Question

Dado un espacio de Banach $E$, necesidad existe una reflexiva espacio de Banach $\overline{E}$ y un mapa de la $T: E \to \overline{E}$ de manera tal que cualquier mapa de $S: E \to X$ donde $X$ es reflexiva espacio de Banach, factores a través de $\overline{E}$ través $T$? Esta $\overline{E}$ sería entonces una especie de reflexiva "cierre" o "envolvente" de $E$.

Mi pensamiento inicial fue mirar a la colimit de $$E \hookrightarrow E^{**} \hookrightarrow E^{****} \hookrightarrow \dots$$ pero esto es sólo una conjetura. Para que funcione, yo tendría que saber que el doble doble de desplazamientos con colimits en la categoría de los espacios de Banach, y que parece dudoso para mí.

Answer 1

El doble doble de la no conmuta con colimits como colimits de $C(K)$-los espacios también se $C(K)$ pero nunca están reflexiva menos finito-dimensional.

En general, $\overline{E}$ $T$ con las propiedades que desee no tiene que existir al menos si $E$ $\overline{E}$ son separables.

Prueba. Deje $E$ ser Pełczyński universal del espacio; es separable y tiene la propiedad de que cada separable espacio de Banach con una limitada aproximación a la propiedad incrusta como una subespacio de $E$.

Sin embargo, existen espacios reflexivos $(E_\alpha)_{\alpha<\omega_1}$ con BAP que han arbitraily gran contables Szlenk índice, es decir, ${\rm Sz}\, E_\alpha > \omega^\alpha$ (ya que los espacios construidos por Szlenk han BAP). Deje $S_\alpha$ ser una proyección de $E$ sobre una copia de $E_\alpha$$E$. Si no se $\overline{E}$ $T$ con dichas propiedades, $T$ factor de $S_\alpha$ $\overline{E}$ tendría que contener complementa subespacios isomorfos a $E_\alpha$ todos los $\alpha<\omega_1$. Esto es imposible ya separables reflexiva de espacios han contables Szlenk índice (es decir, que no puede contener subespacios con arbitrariamente grande Szlenk índice). $\square$

Sin embargo, existe una tonta manera de producir el par quiere pero no puede ser llamado un cierre.

Deje $E$ ser un espacio de Banach y denotan por $\lambda$ la densidad de $E$. Cada espacio de Banach de la densidad en la mayoría de las $\lambda$ incrusta en $\ell_\infty(\lambda)$, por lo que cada operador $S\colon E\to X$ puede ser considerado como un operador en $\ell_\infty(\lambda)$. Deje $(E_\gamma)_{\gamma\in \Gamma}$ ser parte de la familia de todos los reflexiva de los subespacios de $\ell_\infty(\lambda)$. Conjunto $$\overline{E} = (\bigoplus_{\gamma\in \Gamma} E_\gamma)_{\ell_2(\Gamma)},$$ which is reflexive. Suppose that $X$ is reflexive and $S\colon E\a X$. Then $X_0 = \overline{S[E]}$ has density at most $\lambda$, so there exists an isomorphim $U\colon X_0\a E_\gamma$ for some $\gamma$. Then $$S = U^{-1}P_\gamma \iota_\gamma US,$$ where $\iota_\gamma\colon E_\gamma\a \overline{E}$ is the standard embedding and $P_\gamma$ is the projection onto $\gamma^{\rm th}$ de coordenadas.