En la página 8 de estas notas , Bergman dice que un grupo $G$ contiene una operación inversa $i:G\to G$ junto con $\mu:G\times G\to G$ y un "elemento neutro" $e$ . Por lo tanto, un grupo debe ser referido como $(|G|,\mu,i,e)$ .
¿Existe realmente una operación inversa? Pensaba que un inverso es un elemento tal que $\mu(a,a^{-1})=e$ .
¿Es realmente necesario mencionar a un grupo como $(|G|,\mu,i,e)$ , cuando sólo $(|G|,\mu)$ lo hará perfectamente?
Fíjate que cuando has dicho
un inverso es un elemento tal que $μ(a,a^{−1})=e$ .
está utilizando la notación $a^{-1}$ sin haberla definido. ¿Qué es exactamente lo que $a^{-1}$ ¿se refiere a? Uno de los axiomas de un grupo es que
para cada elemento $a$ existe un elemento $b$ tal que $\mu(a,b) = \mu(b,a) = e$ .
Por skolemizing esta afirmación de existencia, obtenemos la afirmación equivalente:
hay un función $i$ con la propiedad de que
para cada elemento $a$ tenemos $\mu(a, i(a)) = \mu(i(a), a) = e$
y convencionalmente denotamos $i(a)$ como $a^{-1}$ . Esta es la definición del $a^{-1}$ notación.
En los tratamientos informales, dejamos todo esto implícito, pero la idea sigue estando ahí: siempre que se escribe ' $a^{-1}$ se está asumiendo implícitamente la existencia de una función que mapea cada $a$ a su inversa. Hasta que se construya dicha función, el uso de la notación $a^{-1}$ es injustificada.
Tienes razón en que, como el elemento neutro y el inverso son únicos en un grupo, no es necesario mencionarlos (son propiedades de la multiplicación y no elementos realmente distinguidos). Pero aún así puede ser práctico distinguir estas dos cosas, ya que después de todo están ahí, y cuando se generaliza el concepto de un grupo al de un grupo-elemento en una categoría, se vuelven importantes.
Ok, así que decir que $G$ es un grupo que tiene la operación $\mu$ nos da implícitamente un mapa inverso y un elemento neutro, por lo que podemos dejar $i$ y $e$ . Pero, ¿por qué detenerse ahí? ¿Por qué no decir simplemente que el decir " $G$ es un grupo" nos da implícitamente una operación, y por lo tanto escribir $\mu$ ¿es superfluo? Por supuesto, esto está perfectamente bien, sobre todo si usted nunca tiene la intención de escribir $\mu$ .
La cuestión es que la utilidad de una notación viene dictada por el uso que pretende el autor. En algo como un libro de álgebra universal, expresar las cuatro piezas de datos en una notación compacta como ésta es lo mejor para satisfacer sus necesidades. En otro libro, otro autor puede utilizar una versión más reducida porque se adapta perfectamente a sus propósitos. Usted puede hacerlo siempre que el contexto en el que se encuentre no admita posibilidades de confusión.
Si se pretende hablar de un semigrupo $S$ y/o un monoide $M$ en el mismo contexto, entonces probablemente querrá adoptar notaciones similares como $(|S|,\mu_S)$ y $(|M|,\mu_M,1_M)$ y uno puede saber, de un vistazo, todos los datos importantes especificados.
Sí, realmente hay una operación inversa en un grupo. Recuerde que no sólo necesita tener una única inversa $x^{-1}$ para un número arbitrario de $x$ pero un inverso para cada $x \in |G|$ . Dadas estas inversiones, podemos definir una función $\iota: |G| \to |G|$ como $\iota(x) = x^{-1}$ y esto $\iota$ es precisamente la operación que, aplicada a cualquier elemento del grupo, da su inversa.
En cuanto a su segunda pregunta, si se desplaza hasta la página 9, encontrará la siguiente nota de Bergman que la aborda directamente:
Existe otra denominación de grupo que probablemente también haya visto: En efecto, un grupo se define como un par $(|G|,\cdot)$ , de tal manera que $G$ es un conjunto, y $\cdot$ es un mapa $|G|\times|G|\to|G|$ Satisfaciendo a $$ (\forall x,y,z \in |G|)\ (x \cdot y)\cdot z = x \cdot (y \cdot z), \\ \tag{1.2.2} (\exists e \in |G|)\ ((\forall x \in |G|)\ e \cdot x = x = x \cdot e) \land \\ \hspace{9em} ((\forall x \in |G|)\ (\exists y \in |G|)\ y \cdot x = e = x \cdot y). $$
Es fácil demostrar que dado $(|G|,\cdot)$ que satisface (1.2.2), existe una única operación $^{-1}$ y un elemento único $e$ tal que $(|G|,\cdot, \,^{-1}, e)$ satisface (1.2.1). (Recordemos los lemas que dicen que los elementos neutros y los inversos de 2 caras son únicos cuando existen). Así, estas dos versiones del concepto de grupo proporcionan información equivalente. Nuestra descripción utilizando 4 tuplas puede parecer "poco económica" comparada con una que utiliza pares, pero nos quedaremos con ella. Con el tiempo veremos que, más importante que el número de términos de la tupla, es el hecho de que la condición (1.2.1) consta de identidades, es decir, de ecuaciones universalmente cuantificadas, mientras que (1.2.2) no. Pero a veces reconoceremos la idea de la segunda definición; por ejemplo, cuando preguntemos (de forma imprecisa) si algún semigrupo "es un grupo".
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