Demostrar Pascal es la Regla Algebraica

Question

Estoy tratando de demostrar Pascal es la Regla algebraica, pero estoy atascado en simplificar el numerador. Este es el último paso que tengo, pero no estoy seguro de dónde ir desde aquí

$$=\frac{\left[(k-1)(n-k)!+k(n-1-k)!\right]x(n-1)!}{k!(n-k)!}$$

Answer 1

Voy a suponer que usted está tratando de mostrar que $\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k}+\binom{n-1}{k-1}$ donde $n$ $k$ cada $\ge 1$. Expresar el lado derecho en términos de factoriales, obtenemos $$\frac{(n-1)!}{k!(n-k-1)!}+\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}.$$ Queremos llevar la expresión a un denominador común. Así se multiplica la parte superior e inferior del primer término por $n-k$, y la parte superior e inferior del segundo término por $k$. Tenemos $$\frac{(n-1)!(n-k)+(n-1)!k}{k!(n-k)!}.$$ La parte inferior ahora se ve bien. Los dos términos en la parte superior tienen un factor común de $(n-1)!$. De modo que la parte superior se puede escribir como
$$(n-1)![(n-k)+k)],$$ que es$(n-1)!n$, $n!$. Así terminamos con $\frac{n!}{k!(n-k)!}$,$\binom{n}{k}$.