¿Por qué es $\sum_{k=-\infty}^\infty \frac{1}{(z-n)^2}$ uniformemente convergente en $|y| \geq 1$

Question

En el Complejo Análisis de texto por Ahlfors', él dice que es fácil ver que la serie $$\sum_{k=-\infty}^\infty \frac{1}{(z-k)^2}$$ converges uniformly in the set $\{x+iy:|y| \geq 1\}.$

Yo no puedo ver por qué es este el caso. He intentado utilizar la Weierstrass M-test, pero con los límites que conseguí eran $\left|\frac{1}{(z-n)^2} \right| \leq 1$ y la serie de $\sum_{-\infty}^\infty 1$ diverge.

Answer 1

Tienes razón, la serie converge sólo localmente uniformemente en $\{z : \lvert \Im z\rvert \geqslant 1\}$.

En la p. 188, él escribe:

Es uniformemente convergente en cualquier conjunto compacto después de la omisión de los términos que se convierten en infinitas en el set.

Pero, en la parte en cuestión, Ahlfors no hablar de la convergencia de la secuencia en la que se establezca, en lugar

Para $z = x + iy$ tenemos (Cap. 2, Segundo 3.2, Ex. 4) $$\lvert \sin \pi z\rvert^2 = \cosh^2 \pi y - \cos^2 \pi x$$ y, por tanto, $\pi^2/\sin^2\pi z$ tiende de manera uniforme a $0$$\lvert y\rvert \to \infty$. Pero es fácil ver que la función de $(7)$ tiene la misma propiedad. de hecho, la convergencia es uniforme para $\lvert y\rvert \geqslant 1$, dicen, y el límite para $\lvert y\rvert \to \infty$ lo que se puede obtener tomando el límite en cada término.

se refiere a la uniformidad - en $y$ - de la convergencia de fijo $x$ o, más fuerte, para $x$ en cualquier subconjunto acotado de $\mathbb{R}$.

La exposición es, de hecho, no impecablemente claro.

Answer 2

Lars Ahlfors que es correcto. Vamos a considerar (como generalmente, $[x]$ denota la parte entera de un número real $x$)$$ \sum_{k=-\infty}^\infty \frac 1 {|z-k|^2 }=\sum_{k=-\infty}^\infty \frac 1 {(x-k)^2+y^2} \le \sum_{k=-\infty}^\infty \frac 1 {(x-k)^2+1}=$$ $$\sum_{k-[x]=-\infty}^\infty \frac 1 {(x-[x]-k+[x])^2+1}=\sum_{n=-\infty}^\infty \frac 1 {(x-[x]-n)^2+1} \le \sum_{n=1}^\infty \frac 1 {(n-1)^2+1}+ 1+$$ $$\sum_{n=-\infty}^{-1} \frac 1 {(n+1)^2+1} .$$