Una pregunta sobre la forma integral de la desigualdad del Caucus-Schwarz.

Question

Estoy confundido acerca de la siguiente forma de la desigualdad del Caucus-Schwarz:

$$ \int {f(x)g(x)} dx \leq \sqrt { \int {f(x)^2dx}} \sqrt { \int {g(x)^2dx}} \tag {A}$$

Una forma análoga para la desigualdad es $(ac+bd) \leq (a^2+b^2)(c^2+d^2)$ . Asumiendo que la desigualdad integral arriba es la misma en espíritu que esto, deberíamos tener algo como

$$ \begin {align}f(x_1)g(x_1)&+f(x_2)g(x_2)+ \dots f(x_n)g(x_n) \\ & \leq \sqrt {f(x_1)^2+f(x_2)^2+ \dots +f(x_n)^2}+ \sqrt {g(x_1)^2+g(x_2)^2+ \dots +g(x_n)^2} \end {align}$$

Extendiendo el argumento a un número infinito de $x_i$ Esto se debe a que no es como si tuviéramos un número infinito de $x_i$ está en el intervalo $[a,b]$ tendríamos $$f(x_1)+f(x_2)+ \dots = \int_a ^b{f(x)dx}$$

Según tengo entendido, $ \int {f(x)dx}$ no es la suma de $f(x_i)$ .

Es la suma de $ \lim\limits_ { \Delta x \to\infty }f(x_i) \Delta x$ .

¿En qué me equivoco?

Answer 1

Pista: Ver $ \int f(x)g(x) dx$ como un $L^2$ Producto interno de funciones. Entonces si escribes $$p( \lambda ) = \int_ {a}^{b} \Big (f(x) + \lambda g(x) \Big )^2 dx \geq 0 $$

se obtiene la desigualdad de Schwarz para los integrales

$$ \Bigg [ \int_ {a}^{b} f(x) g(x) dx \Bigg ]^2 \leq \int_ {a}^{b} f(x)^2 dx \int_ {a}^{b} g(x)^2 dx$$

Answer 2

Creo que esto ayudará

$$ \int f(x)g(x)dx= \sum f(x_i)g(x_i) \Delta x= \sum f(x_i)( \Delta x)^{ \frac12 }g(x_i)( \Delta x)^{ \frac12 }$$ $$ \leq ( \sum f^2(x_i) \Delta x)^{ \frac12 } ( \sum g^2(x_i) \Delta )^{ \frac12 } $$ $$=( \int f^2(x_i)dx)^{ \frac12 }( \int g^2(x_i)dx)^{ \frac12 }$$

Answer 3

Cauchy-Schwarz sostiene que los productos internos positivos-definidos arbitrarios $ \langle \cdot , \cdot \rangle $ . Quieres eso con: $$ \langle f,g \rangle = \int_a ^b f(x)g(x)\,{ \rm d}x,$$ para que $ \langle f,g \rangle \leq \|f\|\|g\|$ lee: $$ \int_a ^b f(x)g(x) \,{ \rm d}x \leq \left ( \int_a ^b f(x)^2 \,{ \rm d} x \right )^{1/2} \left ( \int_a ^b g(x)^2 \,{ \rm d} x \right )^{1/2}.$$