Son estos dos anillos cociente de $\Bbb Z[x]$ isomorfos?

Question

Son los anillos de $\mathbb{Z}[x]/(x^2+7)$ $\mathbb{Z}[x]/(2x^2+7)$ isomorfos?

Intento De Solución:

Mi conjetura es que ellos no son isomorfos. Estoy teniendo problemas para mostrar esto. Cualquier sugerencias, en cuanto a cómo debería acerca de esto?

Answer 1

Sugerencia $\ \ 2\:$ es invertible en a$\rm\ \Bbb{Z}[x]/(2x^2\!+7),\:$, pero no en $\rm\, \Bbb{Z}[x]/(x^2\!+7)\,\cong\, \Bbb Z[\sqrt{-7}].\:$ de Hecho, en el primer anillo de $\rm\:2(x^2\!+4) = 1.\:$ En el segundo, $\rm\:2\alpha = 1\:\Rightarrow\:2\alpha'=1\:$ $\Rightarrow$ $\rm\:4\alpha\alpha' = 1,\:$ $\rm\: \alpha \alpha'\in \Bbb Z,\:$ contradicción.

Comentario $\ $ La prueba es accesible a nivel de escuela secundaria eliminando el uso de la conjugación automorphism en $\rm\,R \cong \Bbb Z[\sqrt{-7}].\:$ Si $\,2\,$ es invertible en a $\rm\,R\,$ $\rm\:2\,(a\!+\!b\sqrt{-7})= 1,\,$ $\rm\, a,b\in \Bbb Z.\:$ por lo Tanto $\rm\:b\ne 0\ $ ($\rm\:2a=1,\ a\in\Bbb Z)\ $ por lo tanto $\rm\,\sqrt{-7}\, =\, (1\!-\!2a)/(2b)\in \Bbb Q,\,$ contradicción.

Este acercamiento elemental puede ser útil para los lectores no familiarizados con las técnicas más avanzadas aplicadas en las otras respuestas.

Answer 2

El anillo de $\mathbb{Z}[x]/(x^2+7)$ es libre de rango $2$ $\mathbb{Z}$ con base $(1,\bar x)$ (por euclidiana de la división, y por tanto la integral sobre la $\mathbb{Z}$ (es decir, todos sus elementos son parte integral de la $\mathbb{Z}$).

En la otra mano el anillo de $\mathbb{Z}[x]/(2x^2+7)=\mathbb{Z}[\xi]$ contiene el elemento $\xi^2=-\frac {7}{2}$ que no es parte integrante de más de $\mathbb Z$.

Por lo tanto, estos dos anillos no son isomorfos.

Answer 3

Deje $A = \mathbb{Z}[x]/(x^2+7)$

Deje $B = \mathbb{Z}[x]/(2x^2+7)$

$A$ $B$ son claramente integral de los dominios. Deje $\alpha$ ser la imagen de $x$ por el canónica homomorphism $\mathbb{Z}[x] \rightarrow A$. Deje $\beta$ ser la imagen de $x$ por el canónica homomorphism $\mathbb{Z}[x] \rightarrow B$. Desde $\alpha$ es integral $\mathbb{Z}$, $A$ es parte integral de la $\mathbb{Z}$.

Supongamos $A$ $B$ son isomorfos. A continuación, $\beta$ integral $\mathbb{Z}$. Deje $K$ a ser el campo de fracciones de $B$. Desde $2\beta^2+7 = 0$, $\beta^2 = -\frac{7}{2}$ en $K$. Por lo tanto $-\frac{7}{2}$ debe ser parte integral de la $\mathbb{Z}$. Esta es una contradicción.

Answer 4

Otro enfoque, vamos a $f:\mathbb{Z}[x]/(2x^2+7)\to \mathbb{Z}[x]/(x^2+7)$ ser un isomorfismo.

Ahora, como por la condición de $x^2+7|f(2x^2+7)$. Deje $f(x)=ax+b+(x^2+7)$.

Por eso, $f(2x^2+7)=2(ax+b)^2+7+(x^2+7)$.

Ahora que implique $x^2+7|−14a^2+2b^2+7+4abx \implies 7+2b^2=14a^2$. Absurdo.