Dos monedas justas son lanzados hasta tanto la suba de los jefes

Question

Un centavo de dólar y una moneda de diez centavos son lanzados juntos hasta tanto la suba de los jefes, después de los cuales no más lanzamientos se realizan. Encuentre el número esperado de veces que la moneda sale cara.

Lo que he intentado:

Deje $X$ $Y$ ser el número de veces que la moneda y moneda de diez centavos llegar cabezas, respectivamente. Entonces, para $x = 1,2,3,\ldots$

$$P(X = x) = \sum_{y=1}^\infty P(X = x, Y = y) \\ = \sum_{y=1}^x P(X=x,Y=y) + \sum_{y=x+1}^\infty P(X=x, Y=y) \\ = \sum_{y=1}^x \sum_{n=x}^\infty \left( \frac{1}{4} \right) \binom{n-1}{x-1} \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1} \binom{n-1}{y-1} \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1} + \\ \sum_{y=x+1}^\infty \sum_{n=y}^\infty \left( \frac{1}{4} \right) \binom{n-1}{x-1} \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1} \binom{n-1}{y-1} \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1} \\ = \sum_{y=1}^x \sum_{n=x}^\infty \left( \frac{1}{4} \right)^n \binom{n-1}{x-1} \binom{n-1}{y-1} + \sum_{y=x+1}^\infty \sum_{n=y}^\infty \left( \frac{1}{4} \right)^n \binom{n-1}{x-1} \binom{n-1}{y-1}$$

Es allí una manera de simplificar la expresión anterior? O es que hay un acercamiento más fácil de que me estoy perdiendo?

Answer 1

Sí, hay una manera más fácil. Supongamos que el número esperado de veces que la moneda sale cara es $x$. Luego de evaluar los resultados de la primer par de lanzamientos: si sale cara arriba, $x = 1$, con una probabilidad de $1/4$.

Con una probabilidad de $1/2$, el penny llega hasta la cola. Sin importar el resultado de la moneda de diez centavos, no nos detenemos; pero, puesto que la moneda salió cruz, este sorteo también no cuentan en el número total de veces que la moneda sale cara, en este caso, es como si el sorteo nunca ocurrió.

En el caso restante, con una probabilidad de $1/4$, la moneda sale cara, pero la moneda de diez centavos viene colas. No nos detendremos, pero ahora la moneda ha mostrado una cabeza y para el resto de la tira, podemos deducir que el número esperado de jefes demostrado por el penny todavía es $x$, ya que el resultado de pares de lanzamientos son independientes de los anteriores lanzamientos--las monedas no "recordar" lo que hizo antes.

Para resumir, debemos tener $$x = \frac{1}{4}(1) + \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}(x+1).$$ This gives $x = 2$ como el número esperado de jefes visto desde el último centavo.

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Para su propio beneficio, usted debe considerar cómo este problema se generaliza para el caso de que la probabilidad de que la moneda de un centavo mostrando cabezas es $p_1$, y la moneda de diez centavos de la probabilidad de mostrar los jefes es $p_2$. ¿Cuál es la expectativa en términos de estas probabilidades?

Para obtener aún más la comprensión, se puede calcular la distribución de probabilidad del número aleatorio de los jefes obtenidos de la moneda (en el caso feria, $p_1 = p_2 = 1/2$)? ¿Qué es? ¿Por qué tiene sentido intuitivo? Se puede usar este resultado para formular un método alternativo de solución?

Answer 2

Imagina un reloj que "ticks" sólo cuando la moneda sale cara. Necesitamos que él espera que el número de garrapatas $T$ hasta que la moneda sale cara. Esto sigue una distribución geométrica con probabilidad de éxito $\dfrac{1}{2}$. Por lo $\mathbb{E}[T] = 2$.