Podemos concluir cualquier información acerca de las clases de isomorfismo de grupos de orden $n!$?

Question

Sabemos que hay un isomorfismo de la clase de grupo simétrico de la estructura de orden de $n!$.

Podemos concluir cualquier otra información acerca de las clases de isomorfismo de grupos de orden $n!$ ?

Answer 1

Para $n \in \mathbb{Z}^+$, vamos a $g(n)$ el número de clases de isomorfismo de grupos de orden $n$. Creo que la mayoría lo suficientemente curioso estudiantes de teoría de grupos se han preguntado ¿qué se puede decir acerca de esta función. Por ejemplo:

1) Para que $n$$g(n) = 1$?

Esto es equivalente a: para que $n$ es todo grupo de orden $n$ cíclico. Esto es conocido: es necesario y suficiente que $\operatorname{gcd}(n,\varphi(n)) = 1$. Creo que el resultado vuelve a Burnside; un buen tratamiento se puede encontrar aquí.

2) ¿cuáles son los límites superior e inferior en $g(n)$?

Por 1), $g(n) = 1$ infinitamente a menudo. Es, sin duda, también al menos dos infinitamente a menudo: de hecho, para cualquier número primo $p$, $g(p^2) = 2$. Así que no hay esperanza para una precisión de la fórmula asintótica para $g(n)$. La secuencia se discute aquí: por su etiqueta, supongo que es un lugar importante entero secuencia!

Sin duda hay algunos resultados interesantes: por ejemplo, para $n \in \mathbb{Z}^+$, vamos a $m(n)$ ser la mayor potencia de la que cualquier otro primer divide $n$ (por ejemplo, $m(n) = 1 \iff n$ es squarefree). Entonces:

Teorema (Pyber): $g(n) \leq n^{2/27 m(n)^2 + O(m(n)^{3/2})}$.

Se sabe que $g$ crece muy rápidamente a lo largo de primer poderes. De hecho, si se arregla un exponente $a$ y preguntar acerca de las $g(p^a)$ para una variable de primer número de $p$, usted consigue algunos muy interesantes las preguntas, que son, por ejemplo, relacionados con la curva elíptica de la teoría (!!). Para una buena discusión, véase, por ejemplo, aquí. En particular, de que la referencia da:

Teorema (Newman-Seeley): $p^{2/27 n^3 - 6n^2} \leq g(p^n) \leq p^{2/27 n^3 + O(n^{5/2})}$.

Bueno, se le preguntó acerca de $g(n!)$. La respuesta es que será enorme. Esto se deduce de la siguiente (en lugar de crudo: seguramente alguien lo puede hacer mejor) multiplicativo de la propiedad de $g(n)$:

$g(mn) \geq \max g(m), g(n)$.

De hecho, esto se deduce de:

Teorema de Krull-Remak-Schmidt: si $G \times H \cong G \times K$,$H \cong K$.

Por lo tanto $g(n!)$ es al menos tan grande como $g(2^{\sum_{n=1}^{\infty} \lfloor \frac{n}{2^i} \rfloor})$, ya que el $2^{\sum_{n=1}^{\infty} \lfloor \frac{n}{2^i} \rfloor}$ es el mayor poder de $2$ dividiendo $n!$.

Yo soy un poco demasiado presionado ahora mismo para escribir los detalles, pero si se une con el límite inferior en el Newman-Seeley Teorema, usted debe obtener un límite inferior en $g(n!)$ que es explícito y enorme.