Evaluar $\lim_{n \to \infty }\frac{(n!)^{1/n}}{n}$ .

Question

Posible duplicado:
Encontrar el límite de $\frac {n}{\sqrt[n]{n!}}$

Evaluar $$\lim_{n \to \infty }\frac{(n!)^{1/n}}{n}.$$

¿Puede alguien ayudarme con esto? No tengo ni idea de cómo empezar. Gracias.

Answer 1

Vamos a resolverlo elementalmente aplicando sabiamente el criterio de Cauchy-d'Alembert:

$$\lim_{n\to\infty} \frac{n!^{\frac{1}{n}}}{n}=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n!}{n^n}\right)^{\frac{1}{n}} = \lim_{n\to\infty} \frac{(n+1)!}{(n+1)^{(n+1)}}\cdot \frac{n^{n}}{n!} = \lim_{n\to\infty} \frac{n^{n}}{(n+1)^{n}} =\lim_{n\to\infty} \frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}}=\frac{1}{e}. $$

Obsérvese también que aplicando el teorema de Stolz-Cesàro se obtiene el límite celebre:

$$\lim_{n\to\infty} (n+1)!^{\frac{1}{n+1}} - (n)!^{\frac{1}{n}} = \frac{1}{e}.$$

La secuencia $L_{n} = (n+1)!^{\frac{1}{n+1}} - (n)!^{\frac{1}{n}}$ se llama Secuencia Lalescu El nombre de un gran matemático rumano, Traian Lalescu.

Q.E.D.

Answer 2

Podemos utilizar Aproximación de Stirling para el factorial:

$$n!\sim\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{{\rm e}}\right)^{n}$$

Por lo tanto, su expresión se convierte en:

$$\lim_{n\to\infty}{\left(\frac{1}{n}\left(\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{\rm e}\right)^{n}\right)^{\frac{1}{n}}\right)}=\lim_{n\to\infty}{\left(\frac{1}{n}\frac{n}{\rm e}\sqrt[n]{\sqrt{2\pi n}}\right)}$$

Sabemos que $\lim_{n\to\infty}{\sqrt[n]{an}}=1$ por lo que tenemos:

$$\lim_{n\to\infty}{\left(\frac{1}{\rm e}\sqrt[n]{\sqrt{2\pi n}}\right)}=\frac{1}{\rm e}$$

Espero que esto ayude.

Answer 3

Con una prueba integral de convergencia: $\displaystyle \int_1^n \ln(x)dx \leq \sum\limits_{k=2}^n \ln(k) = \ln(n!) \leq \int_2^{n+1} \ln(x)dx$ .

Se puede deducir que $\ln(n!)=n\ln(n)-n + o(n)$ . Así que $\displaystyle \lim\limits_{n\to + \infty} \frac{(n!)^{1/n}}{n}= e^{-1}$ .