Integración de la función Bessel Modificada de segunda clase?

Question

Necesito calcular la siguiente integral:

$$\int_0^\infty\;\;K_0\left(\sqrt{a(k^2+b)}\right)dk$$

donde$a>0$$b>0$.

He intentado varias sustituciones y jugado mucho en Mathematica, y parece que no puede resolver esto :(

Incluso si esto no se puede hacer exactamente, una aproximación sensata estrategia también podría ser útil.

Cualquier consejo sería muy apreciada. Gracias de antemano por su tiempo!

Answer 1

El uso de algunas de las ideas mencionadas en Ron Gordon respuesta podemos evaluar esta integral. Cambiar la variable a $x=\sqrt{a} k$, por lo que la integral se convierte en $$ \int_0^\infty K_0(\sqrt{ak^2+ab})\,dk = \frac1{\sqrt{a}} \int_0^\infty K_0(\sqrt{x^2+ab})\,dx, $$ e introducir la función $$ I(b) = \int_0^\infty K_0(\sqrt{x^2+b^2})\,dx, $$ de modo que la integral es $I(\sqrt{ab})/\sqrt{a}$.

Primero, para hacer la sustitución de $x=\sqrt{s^2-b^2}$, obtenemos que $$ I(b) = \int_b^\infty K_0(s)\frac{s\,ds}{\sqrt{s^2-b^2}}, $$ y podemos usar $K_0'(s) = -K_1(s)$ escribir $K_0(s)=\int_s^\infty K_1(u)\,du$, por lo que $$ I(b) = \int_b^\infty \frac{s\,ds}{\sqrt{s^2-b^2}}\int_s^\infty K_1(u)\,du. $$ La integral tiene el rango de $b<s<u<\infty$, y podemos hacer la integral sobre la $s$ explícitamente, dando $$ I(b) = \int_b^\infty\sqrt{u^2-b^2}K_1(u)\,du. $$

En segundo lugar, mediante la fórmula $$ K_0(u) = \int_0^\infty e^{-u\cosh t}\,dt, $$ podemos escribir $$ I(b) = \int_b^\infty \frac{s\,ds}{\sqrt{s^2-b^2}}\int_0^\infty e^{-s\cosh t}\,dt = \int_0^\infty b K_1(b\cosh t)\,dt, $$ donde la integral sobre la $s$ se puede hacer en forma cerrada en Mathematica. Sustituyendo $t = \text{arccosh}(u/b)$ tenemos $$ I(b) = \int_b^\infty \frac{b\,du}{\sqrt{u^2-b^2}}\,K_1(u). $$

De las dos expresiones anteriores podemos ver fácilmente que $$ \frac{dI}{db} = -I(b), $$ y Mathematica nos dirá que $$ I(0) = \int_0^\infty K_0(x)\,dx = \frac\pi2. $$ Por lo tanto, $$I(b) = \frac\pi2 e^{-b}, $$ y $$ \int_0^\infty K_0(\sqrt{a x^2+a b})\,dx = \frac{\pi}{2\sqrt{a}}e^{-\sqrt{a b}}. $$ Esto coincide con Ron Gordon respuesta, aunque el suyo fue sólo un asintótica de cálculo.

Answer 2

OK, creo que tengo una manera de hacer una aproximación que mantiene bastante bien por el uso de Laplace del método dos veces.

Comience usando la representación

$$K_0(u) = \int_0^{\infty} dt \, e^{-u\cosh{t}}$$

Entonces la integral que usted busca puede ser escrito, si invertimos el orden de integración, como

$$\int_0^{\infty} dk \, K_0\left(\sqrt{a (k^2+b)}\right) = \int_0^{\infty} dt \, \int_0^{\infty} dk \, e^{-\sqrt{a} \cosh{t} \sqrt{k^2+b}}$$

Esto se justifica en que ambas integrales claramente converge absolutamente. Ahora, para aplicar el método de Laplace de la integral sobre la $k$, podemos suponer que la $a \cosh{t}$ es lo suficientemente grande, y utilizamos la aproximación que

$$\sqrt{k^2+b} \sim \sqrt{b} + \frac{k^2}{2 \sqrt{b}}$$

Terminamos con un familiar integral que puede ser evaluado de inmediato, y nos quedamos con una sola integral:

$$\int_0^{\infty} dk \, K_0\left(\sqrt{a (k^2+b)}\right) \sim \sqrt{\frac{\pi \sqrt{b}}{2 \sqrt{a}}} \int_0^{\infty} \frac{dt}{\sqrt{\cosh{t}}} e^{-\sqrt{a b} \cosh{t}} \quad (a \to \infty)$$

En este punto debo decir que no estoy de proporcionar una estimación del error, a pesar de derivar de uno debe ser bastante sencillo. (Esto implica la prestación de un plazo adicional de la expansión de Taylor de la raíz cuadrada de arriba, y luego la expansión de Taylor de la exponencial en el integrando.)

Ahora nos quedamos con el problema de la evaluación de la integral anterior, que sólo busca un poco menos problemático que el de la original. Sin embargo, podemos aplicar el método de Laplace de nuevo, como se está afirmando que $a$ es lo suficientemente grande, y $b \gt 0$. En este caso, utilizamos la expansión de Taylor de $\cosh{t} \sim 1+t^2/2$ y de nuevo al final con un familiar integral. El resultado final es

$$\int_0^{\infty} dk \, K_0\left(\sqrt{a (k^2+b)}\right) \sim \frac{\pi}{2 \sqrt{a}} e^{-\sqrt{a b}} \quad (a \to \infty)$$

Algunos al azar numérico de muestras - incluso con moderados valores de $a=1$ $b=1$ en WA se ha verificado la corrección de esta aproximación.

Answer 3

$\int_0^\infty K_0\left(\sqrt{a(k^2+b)}\right)dk$

$=\int_0^\infty\int_0^\infty e^{-\sqrt{a(k^2+b)}\cosh t}~dt~dk$

$=\int_0^\infty\int_0^\infty e^{-(\sqrt{a}\cosh t)\sqrt{k^2+b}}~dk~dt$

$=\int_0^\infty\int_0^\infty e^{-(\sqrt{a}\cosh t)\sqrt{(\sqrt{b}\sinh u)^2+b}}~d(\sqrt{b}\sinh u)~dt$

$=\sqrt{b}\int_0^\infty\int_0^\infty e^{-\sqrt{a}\sqrt{b}\cosh t\cosh u}\cosh u~du~dt$

$=\sqrt{b}\int_0^\infty K_1(\sqrt{a}\sqrt{b}\cosh t)~dt$