Prueba de la desigualdad de Chebyshev

Question

Estaba repasando la prueba de la desigualdad de Chebyshev aquí .

Y parece que tengo problemas en la fase de aproximación. Parece que no puedo seguir cómo $\epsilon$ se ha aproximado a $(t-\mu)$ .

Answer 1

Es una desigualdad. El texto de ese documento rompe ligeramente el flujo.

Debería decirse así:

$\int_{-\infty}^{\mu-\epsilon}(t-\mu)^2f_X(t)dt+\int_{\mu+\epsilon}^{\infty}(t-\mu)^2f_X(t)dt \ge \int_{-\infty}^{\mu-\epsilon}\epsilon^2f_X(t)dt+\int_{\mu+\epsilon}^{\infty}\epsilon^2f_X(t)dt$ .

No sustituyeron $(t-\mu)^2$ con $\epsilon^2$ . Más bien, explotaron la desigualdad $(t-\mu)^2 \ge \epsilon^2$ para conseguir la desigualdad que he escrito arriba.

Answer 2

En los dos intervalos semi-infinitos de integración tenemos 1) en la primera región t<μ-ϵ y 2)en la segunda región t>μ+ϵ. Ambas regiones fueron elegidas inteligentemente para que la ϵ $^2$ <(t-μ) $^2$ . Así que la desigualdad se mantiene con ϵ $^2$ sustituyendo (t-μ) $^2$ y el resto debería ser fácil para ti.

Answer 3

Obsérvese que para $t\in (-\infty,\mu-\epsilon]\cup[\mu+\epsilon,\infty)$ que $(t-\mu)^2 \ge \epsilon^2$ .

Answer 4

$\epsilon$ no está siendo aproximado por $t - \mu$ . Lo que ocurre es que para $t$ fuera del intervalo $(\mu - \epsilon, \mu + \epsilon)$ , $\epsilon^2 \leq (t - \mu)^2$ y por lo tanto las dos integrales pueden ser subestimadas.

El razonamiento "ya que $t \leq \mu - \epsilon \Rightarrow \epsilon \leq | t - \mu | \Rightarrow \epsilon^2 \leq (t - \mu)^2$ " en la página a la que te refieres, se aplica a la reescritura de la integral de la izquierda, c.q., $t$ a la izquierda del intervalo $(\mu - \epsilon, \mu + \epsilon)$ . Un razonamiento similar se aplica a la integral de la derecha, c.q., la derecha de ese intervalo.