Si $a^2+ab+b^2=c^2+cd+d^2$ $a+b+c+d$ no es primo.

Question

Deje $a,b,c,d$ ser enteros positivos tales que a $a^2+ab+b^2=c^2+cd+d^2$. Mostrar que $a+b+c+d$ no es primo.

Mi prueba se parece a esto:

$(a+b)^2 - ab=(c+d)^2-cd$

$(a+b)^2 - (c+d)^2=ab-cd$

$(a+b+c+d)(a+b-c-d)=ab-cd$

$a+b+c+d=\frac{ab-cd}{a+b-c-d}$

Me gustaría tener la $a+b+c+d$ el producto de números enteros) no cociente de

Answer 1

Es necesario el uso de la fórmula. Ecuación de Diophantine $a^2+b^2=c^2+d^2$

Por ejemplo este.

Usted puede escribir una ecuación similar y soluciones: $$a^2+ac+c^2=x^2+xy+y^2$$

Las soluciones de la forma: $$a=q^2+k^2-p^2+kq$$

$$c=q^2+k^2+2p^2+kq-3pk-3pq$$ $$x=q^2-2k^2-p^2+3pk-2qk$$ $$y=k^2-2q^2-p^2+3pq-2qk$$

Esto significa que:

$$a+c+x+y=q^2+k^2-p^2-2qk=(q-k-p)(q-k+p)$$

Número fácil siempre se puede elegir.

$$(q-k-p)(q-k+p)=1*19$$

A continuación, por ejemplo: resulta que uno de los números es negativo. Si cambiamos los signos. $x=-x$ ; $y=-y$ . Usted obtener un múltiplo de 3 y de la plaza. Tan simple número puede ser al $q=p-k+1$

Esto significa que al menos un número debe ser de nuevo negativa.