Si $T$ y $T^2$ tienen el mismo rango entonces $V= \ker T \oplus { \rm im}\, T$ para $V$ de dimensiones finitas.

Question

Estoy tratando de probar lo siguiente:

Deje que $V$ ser un espacio vectorial de dimensiones finitas. Considere un operador $T$ en $V$ de tal manera que $ \text {dim range}(T)= \text {dim range}(T^2)$ . Demuestra que $V= \text {null}(T) \oplus \text {range}(T)$ .

Me han dado la siguiente pista:

$ \textit {Hint:}$ Mostrar que no existe un $y \in V$ de tal manera que $y \notin \text {null}(T)$ y $y \notin \text {range}(T)$ .

Decidí intentar probar la indirecta por contradicción...

Supongamos que existe un $y \in V$ de tal manera que $y \notin \text {null}(T)$ y $y \notin \text {range}(T)$ . Luego $$Ty \neq 0$$ y por cada $v \in V$ tenemos $$Tv \neq y.$$

¡No tengo ni idea de qué hacer con esta información! ¡Apreciaría mucho algunos consejos/ayuda! Gracias.

Answer 1

Dado que la gama de $T$ contiene el rango de $T^2$ lo que se obtiene es que el rango de $T$ y de $T^2$ coincidir . Debido a la fórmula de nulidad de rango, también se conoce el núcleo de $T$ y $T^2$ coinciden.

Elige un vector arbitrario $v\in V$ . Porque $Tv$ es a imagen de $T$ hay algo de $w$ tal que $Tv=T^2w$ . Esto dice $T(v-Tw)=0$ . De ello se deduce que se puede escribir $$v=(v-Tw)+Tw\in \ker T+\operatorname{im}\, T$$ por lo que basta con demostrar que la suma es directa.

Supongamos entonces que $Tv=w$ y que $Tw=0$ . Entonces $T^2v=0$ sino por la observación del primer párrafo, $v\in \ker T$ también, para que $Tv=w=0$ .

A título personal, me parece que la insinuación es bastante engañosa: es completamente innecesario argumentar por contradicción aquí, e incluso podría oscurecer lo que realmente está pasando. Tenga en cuenta que realmente puede "perseguir las hipótesis" aquí para obtener una solución: usted tiene un vector $v$ en $V$ y quieres escribirlo como una suma directa de dos cosas. Sabes algo sobre la imagen de $T$ y $T^2$ . Es natural mirar $Tv$ . Ahora puedes usar lo que sabes, y consigues lo que quieres, inmediatamente. Del mismo modo, para demostrar que la suma es directa empiezas con la información de que $w\in \ker T\cap {\rm im}\, T$ y, naturalmente, una condición relativa a $\ker T$ y $\ker T^2$ aparece. Pero sabes algo sobre $\ker T$ y $\ker T^2$ y puedes concluir.

Answer 2

Sea $V_0 = \text{Range}(T)$ y considerar la restricción $T_1$ de $T$ a $V_0$ es decir, $T_1 : V_0 \to V,$ donde $T_1(x) = T(x)$ para todos $x \in V_0$ .

La gama de $T_1$ es el rango de $T^2$ y el espacio nulo de $T_1$ es $\text{Range}(T) \cap \text{Kernel}(T)$ el teorema del rango + nulidad implica $\text{dim}(\text{Range}(T)) - \text{dim}(\text{Range}(T^2)) = \text{dim}(\text{Range}(T) \cap \text{Kernel}(T)),$ así que $ \text{Range}(T) \cap \text{Kernel}(T) = \{0\},$ el teorema del rango + nulidad también implica $\text{dim}(\text{Range}(T)) + \text{dim}(\text{Kernel}(T)) = \text{dim}(V)$ por lo que el resultado se deduce.

Answer 3

Por rank-nullity $ \dim V = \dim \ker T + \dim \textrm{Im}\, T $ por lo que basta con comprobar que $ \ker T \cap \textrm{Im}\, T $ es trivial. Supongamos que $ x $ está en la intersección, entonces $ x = Tv $ para algunos $ v $ y $ Tx = T^2 v = 0 $ . Dado que la condición dada implica $ \ker T = \ker T^2 $ ( $ \ker T $ es un subespacio de $ \ker T^2 $ de igual dimensión), $ v \in \ker T $ y $ x = 0 $ . Así pues, la conclusión deseada $ V = \ker T \oplus \textrm{Im}\, T $ sigue.