La diferenciación a partir de primeros principios de forma específica.

Question

Me han planteado una pregunta en la que estoy de diferenciar con respecto a $x$ una función de la forma $(x+a)^k$. He completado con éxito (coincide con el libro de la respuesta) la pregunta por el uso de la regla de la cadena, sin embargo no puedo lograr el mismo resultado usando la definición de la derivada.

Me gustaría un ejemplo de diferenciación a partir de primeros principios de una función de la forma $(x+a)^k$.

Answer 1

Para la concreción, primero vamos a echar $k=3$.

Hacemos uso de la factorización $x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$.

Aquí tenemos a $(x+a+h)^3-(x+a)^3=h((x+a+h)^2+(x+a+h)(x+a)+(x+a)^2)$.

La diferencia cociente es entonces

$$\frac{(x+a+h)^3-(x+a)^3}{h}=((x+a+h)^2+(x+a+h)(x+a)+(x+a)^2).$$

Como $h$ va a cero, esto se convierte en $3(x+a)^2$, como se desee.

¿Cómo funciona este generalizar? Hemos similar factorizations para todos los $k$:

$$x^k-y^k=(x-y)(x^k+x^{k-1}y+\cdots xy^{k-1}+ y^k)$$

donde hay $k$ términos en el segundo paréntesis. Esta factorización es fácil de comprobar, ya que los términos que todos telescopio y cancelar.

Así que lo que hice para $k=3$ puede ser repetida general $k$, y al $h$ va a cero consigue $k$ términos de $(x+a)^{k-1}$ añadidos, que es exactamente el mismo derivado de obtener el uso de la regla de la cadena.

Answer 2

$$ \frac{d}{dx} (x+a)^k = \lim_{h\to 0} \frac{1}{h}\left((x+h+a)^k - (x+a)^k\right) ~~. $$ La idea fundamental es, utilizar el teorema del binomio. $$ (x+h+a)^k = \sum_{j=0}^k {k \elegir j} (x+a)^{k-j} h^j ~~, $$ así nos damos cuenta de que en la diferencia en el límite anterior, restando $(x+a)^k$ elimina el $0^\text{th}$ término de la suma. Por lo tanto, $$ \lim_{h\to 0} \frac{1}{h}\left((x+h+a)^k - (x+a)^k\right) = \lim_{h\to 0} \frac{1}{h}\sum_{j=1}^k {k \elegir j} (x+a)^{k-j} h^j $$ $$ = \lim_{h\to 0}\sum_{j=1}^k {k \elegir j} (x+a)^{k-j} h^{j-1} = \lim_{h\to 0} \sum_{j=0}^{k-1} {k \elegir j+1} (x+a)^{k-j-1} h^j ~~. $$ La suma de la expresión puede ser pensado como un polinomio en $h$, por lo que el único término que sobrevive tomando el límite será de al $j=0$. Por lo tanto, $$ \lim_{h\to 0} \sum_{j=0}^{k-1} {k \elegir j+1} (x+a)^{k-j-1} h^j = {k \elegir 1} (x+a)^{k-1} = k(x+a)^{k-1} ~~. $$ Este es el más sencillo de limpiar manera que conozco de resolver esto a través de la definición de derivada.

Answer 3

Queremos demostrar que para cualquier entero positivo $n$, $$\lim_{h\to 0}\frac{(x+a+h)^n -(x+a)^n}{h}=n(x+a)^{n-1}.$$ Para salvar a escribir, escribir $w$ en lugar de $x+a$. Por eso queremos demostrar que $$\lim_{h\to0}\frac{(w+h)^n-w^n}{h}=nw^{n-1}.$$ Vamos a comprobar el resultado por inducción en $n$. La base, paso a $n=1$ es fácil. Podemos demostrar la inducción de paso, que si el resultado se mantiene para $n=k$, que tiene de $n=k+1$.

Tenga en cuenta que $(w+h)^{k+1}=(w+h)^k (w+h)=w(w+h)^k +h(w+h)^k$. De ello se sigue que $$(w+h)^{k+1}-w^{k+1}=w((w+h)^k -w^k) +h(w+h)^k.$$ Dividir por $h$. Tenemos $$\frac{(w+h)^{k+1}-w^{k+1}}{h}=w\frac{(w+h)^k -w^k}{h} +(w+h)^k.\tag{$1$}$$ Por la hipótesis de inducción, $$\lim_{h\to 0}w\frac{(w+h)^k -w^k}{h}=w(kw^{k-1})=kw^k.$$ Y es claro que $$\lim_{h\to 0}(w+h)^k=w^k.$$ De modo que el lado derecho de la $(1)$ limit $(k+1)w^k$$h\to 0$. Esto completa la inducción de paso.