Probar esta desigualdad mediante el teorema del valor medio

Question

Quiero demostrar que la $x<\frac{2x}{2-x}, \forall x \in (0,1)$, utilizando el valor medio teorema.

Así, considere la posibilidad de $f(x)=\frac{2x}{2-x} -x$. $f(0)=0$. $f´(x)=\frac{2x-2}{(2-x)^2} - 1$ $f'(x)<0, \forall x \in (0,1)$ . Por el valor medio teorema:

$$\exists c \in (0,1)~~~\text{such that}~~~f(x)-f(0) = f'(c)(x-0)~~~\rightarrow~~~f(x)<0 ~~~\rightarrow~~~x> \frac{2x}{2-x}$$

Así, no funciona.

Answer 1

Resulta que $$f'(x)=\frac{4}{(2-x)^2}-1.$$ Este es con seguridad positiva en nuestro intervalo, por lo que el MVT argumento pasa a través de.

Comentario: parece Que se le ha solicitado el uso de la MVT explícitamente. La forma común es utilizar el teorema, derivados del uso de la MVT, que si la derivada de una función es positiva en un intervalo, entonces la función es creciente en dicho intervalo.