$f,g\in L^1(\mu)\implies fg\in L^1(\mu)$

Question

Deje $(X,\mu)$ ser una medida de espacio y supongamos que $f,g\in L^1(\mu)$, es decir, $$\|f\|_1=\int_X|f|d\mu<\infty\quad\text{and}\quad\|g\|_1=\int_X|g|d\mu<\infty.$$ Cómo mostrar que $fg\in L^1(\mu)$?

Intento: yo sé cómo probar que $$\|fg\|_1 \leq \|f\|_p\|g\|_q$$ para cualquier $1<p,q<\infty$ tal que $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$$p=1,q=\infty$$p=\infty,q=1$. Pero, ¿podemos usar esto para probar que $\|fg\|<\infty$? Así tenemos, por ejemplo $$\|fg\|_1\leq \|f\|_1\|g\|_\infty,$$ y $\|f\|_1<\infty$, pero creo que no podemos decir $\|g\|_\infty<\infty$, por lo que esto no muestra nada.

Answer 1

No se pueden mostrar $fg\in L^1(\mu)$, porque no es cierto en general. Deje $X = (0, \pi/2)$ y deje $\mu$ ser la medida de Lebesgue en $X$. Si $f(x) = \sqrt{\sec(x)}$, $f\in L^1(X,\mu)$ pero $f^2\notin L^1(X,\mu)$.