Función Delta integrada a partir de cero

Question

Estoy tratando de entender la motivación detrás de la siguiente identidad declaró en Bracewell, el libro de las transformadas de Fourier: $$\delta^{(2)}(x,y)=\frac{\delta(r)}{\pi r},$$ where $\delta^{(2)}$ is a 2-dimensional delta function. Starting with something we know to be true, we can do $$1 = \iint \delta^{(2)}(x,y) dx\,dy = \int_0^\infty \int_0^{2\pi} \frac{\delta(r)}{\pi r} r\,dr\,d\theta = 2 \int_0^\infty \delta(r).$$

Esto sugiere que la integral de la función delta de 0 a infinito es 1/2. De hecho, este parece tener sentido si tratamos a la función delta como el caso límite de una función par alcanzó su punto máximo en cero (Gauss, sinc, etc.) Sin embargo, Wikipedia, citando Bracewell, afirma lo siguiente es verdadero:

$$\int_0^\infty \delta(r-a) e^{-s r} dr = e^{-s a},$$ y conectando 0 para a y s obtenemos $$\int_0^\infty \delta(r) dr = 1.$$

¿Qué está pasando aquí?.. Dónde está el tornillo?.. Si la integral de 0 a infinito no es de 1/2, entonces ¿cómo podemos justificar el por encima de coordenadas polares expresión de un 2D función delta?..

Answer 1

La Wikipedia fórmula sólo es válida para $a>0$, pero no por $a<0$ o $a=0$.

El lado izquierdo de su fórmula tiene sentido, sin embargo, y es igual a cero cuando se $a<0$ y equivale a la mitad (como se esperaba) al $a=0$.

Puede ser más fácil de entender por reescribir la integral como $$\int_{-\infty}^\infty \delta(r-a)\ e^{-s r}\ \mathbb{I}_{[0,\infty)}(r) \ dr$$ donde $\mathbb{I}$ es el indicador de la función positiva de la mitad de la línea. Si usted trata a la función delta de arriba como el caso límite de que incluso las funciones alcanzó su punto máximo a cero, se obtiene el resultado para cualquier valor de $a$.

Answer 2

La ecuación que usted cita de la Wikipedia (de esta sección) especifica la transformada de Laplace, y el artículo sobre la transformada de Laplace (en esta sección), se establece que el significado de la integral es el límite de $0$ es abordado desde la izquierda.

Answer 3

Deje $f_n$ ser una secuencia de suave funciones que $f_n\to\delta(x)$$\cal D'(\mathbb R)$. A continuación, para cualquier función de prueba de $\varphi\in \cal D(\mathbb R)$ tenemos $\lim_{n\to\infty}\int_0^\infty f_n(x)\varphi(x)dx=\varphi(0)/2\;\;$. Lo mismo va para la integración de la mitad de la línea de $(-\infty,0)$. La suma de los dos límites es $\varphi(0)$ como debería. Por tanto, decir que la acción de $\delta$ es simétricamente dividido entre los lados izquierdo y derecho de la de origen.