¿Es $\lim\limits_{k\to\infty}\sum\limits_{n=k+1}^{2k}{\frac{1}{n}} = 0$?

Question

Es el caso que

$$ \lim\limits_{k\to\infty}\sum\limits_{n=k+1}^{2k}{\frac{1}{n}} = 0$

¿Es decir, va la "segunda mitad" de la serie armónica a cero?

Answer 1

Escribir la suma como $$\sum_{n=k+1}^{2K}\frac1n=\sum_{n=k+1}^{2K}\frac1k\cdot\frac1{n/k}$$ nos permite identificar esto como una suma de Riemann que relaciona la integral definida $$\int_1^2\frac1x\,dx=\ln 2.$$ a ver que, dividir el intervalo $[1,2]$ a subintervals de igual longitud $k$ y evaluar la función $f (x) = 1 / x$ en el extremo derecho de cada subinterval. Cuando $k\to\infty$, las sumas de Riemann entonces tenderá al valor de esta integral definida.

Answer 2

Bueno, no, el límite es de $\log 2.$ el hecho fundamental es que el finito suma $\sum_{m = 1} ^ \frac{1}{m W} \approx \gamma + \log W,$ donde $\gamma \approx 0.5772156649\ldots$ es la constante de Euler-Mascheroni. Así que tome la aproximación para $W = 2 k$ y restar la aproximación para $W = k.$

Answer 3

La suma es igual a $A_n = (1/1 - 1/2 + 1/3 \dots -1/2n)$.

Como una serie alternante, satisface $| A_n - \log 2| < \frac{1}{2n}$.

El multicelular de números armónicos, usando la constante de Euler, no es necesarios para conseguir la convergencia de O(1/n) o su extensión a potencias mayores de $1/n$.

Answer 4

Pista: $\sum_{n=1}^N \frac{1}{n} = \gamma, \ln(N) +$ O(1/N)